пользователей: 21251
предметов: 10459
вопросов: 177801
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ


Пример. Векторы.

1.|a| = √ax2 + ay2 + az2

2

Пример 4. Какие из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} коллинеарны?

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и bпримет вид:

ax  =  ay  =  az .
bx by bz

Значит:

Вектора a и b коллинеарны т.к.   1  =  2  =  3 .
4 8 12
Вектора a и с не коллинеарны т.к.   1  =  2  ≠  3 .
5 10 12
Вектора с и b не коллинеарны т.к.   5  =  10  ≠  12 .
4 8 12
Пример 5. Доказать что вектора a = {0; 3; 1} и b = {0; 6; 2} коллинеарны.

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

b = na.

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то

n =  by  =  6  = 2
ay 3

Найдем значение na:

na = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}

Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.

Пример 6. найти значение параметров n и m при которых вектора a = {3; 2; m} и b = {9; n; 12} коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

ax  =  ay  =  az .
bx by bz

Значит:

3  =  2  =  m
9 n 12

Из этого соотношения получим два уравнения:

3  =  2
9 n
3  =  m
9 12

Решим эти уравнения:

n =  2 · 9  = 6
3
m =  3 · 12  = 4
9

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

3. 

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 3, |b| = 6, а угол между векторами равен 60˚.

Решение: a · b = |a| · |bcos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Пример 3. Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a - 3 b, если их длины |a| = 3, |b| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.

Решение:

p · q = (a + 3b) · (5a - 3b) = 5 a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b =

= 5 |a|2 + 12 a · b - 9 |b|2 = 5 · 32 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ - 9 · 22 = 45 +36 -36 = 45.

Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Пример 4. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и b = {4; 8; 1}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов

Пример 5. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5; 2} и b = {4; 8; 1; -2}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

4.Доказать что вектора a = {1; 2; 0} и b = {2; -1; 10} ортогональны.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) + 0 · 10 = 2 - 2 + 0 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны

5.

Найти векторное произведение векторов a = {1; 2; 3} и b = {2; 1; -2}.

Решение:

a × b =   i   j   k   =
 1   2   3 
 2   1   -2 

i(2 · (-2) - 3 · 1) - j(1 · (-2) - 2 · 3) + k(1 · 1 - 2 · 2) =

i(-4 - 3) - j(-2 - 6) + k(1 - 4) = -7i + 8j - 3k = {-7; 8; -3}
треугольник построенный на векторах
Пример 2. Найти площадь треугольника образованного векторамиa = {-1; 2; -2} и b = {2; 1; -1}.

Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:

a × b =   i   j   k   =
 -1   2   -2 
 2   1   -1 

i(2 · (-1) - (-2) · 1) - j((-1) · (-1) - (-2) · 2) + k((-1) · 1 - 2 · 2) =

i(-2 + 2) - j(1 + 4) + k(-1 - 4) = -5j - 5k = {0; -5; -5}

Из свойств векторного произведения:

SΔ =  1 |a × b| =  1 √02 + 52 + 52 =  1 √25 + 25 =  1 √50 =  5√2
2 2 2 2 2

Ответ: SΔ = 2.5√2.

6.

Найти смешанное произведение векторов a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Решение:

a · [b × с] =    1     2     3    =
  1     1     1  
  1     2     1  

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2
пирамида построенная на векторах
Пример 2.
 Найти объем пирамиды построенной на векторахa = {1; 2; 3}, b = {1; -1; 1}, c = {2; 0; -1}.

Решение: Найдем смешанное произведение этих векторов:

a · [b × с] =    1     2     3    =
  1     -1     1  
  2     0     -1  

= 1·(-1)·(-1) + 2·1·2 + 3·1·0 - 3·(-1)·2 - 2·1·(-1) - 1·1·0 =

= 1 + 4 + 0 + 6 + 2 - 0 = 13

Найдем объем пирамиды воспользовавшись свойствами:

Vпир =  1 |a · [b × c]| =  13  = 2 1
6 6 6

 

7. Пример 1. Проверить компланарны ли три вектора a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

a · [b × с] =    1     2     3    =
  1     1     1  
  1     2     1  

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.


26.01.2016; 19:38
хиты: 176
рейтинг:0
Точные науки
математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь