1. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x) = x3 – 3x2.
Решение: Найдем первую производную функции f ’(x) = 3x2 – 6x.
Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x2 – 6x =0; 3x(x-2) =0 ; x = 0, x = 2
Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.
f(0) = 03 – 3*02 = 0
f(2) = 23 – 3*22 = -4
Ответ: Функция возрастает при 
;
функция убывает при 
;
точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).
2. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: f(x) = x2 – 2x - 3.
Решение: Находим производную: f ‘(x) = 2x - 2.
Решая уравнение f ’(x) = 0, получим стационарную точку х=1. Найдем теперь вторую производную: f ’’(x) = 2.
Так как вторая производная в стационарной точке положительна, f’’(1) = 2 > 0, то при x = 1 функция имеет минимум: fmin = f(1) = -4.
Ответ: Точка минимума имеет координаты (1; -4).
