{Вопрос 33. Смешанное произведение трех векторов. }
Формулы вычисления смешанного произведения векторов
Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.
Смешанное произведение векторов a = {ax; ay; az}, b = {bx; by; bz} и c = {cx; cy; cz} в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующую формулу:
| a · [b × c] = | ax | ay | az |
| bx | by | bz | |
| cx | cy | cz |
Свойства смешанного произведения векторов
-
Геометрический смысл смешанного произведения.Модуль смешанного произведения трех векторов a, b и с равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:Vпарал = |a · [b × c]|
-
Геометрический смысл смешанного произведения.Объем пирамиды образованной тремя векторами a, b и с равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов:
Vпир = 1 |a · [b × c]| 6 - Если смешанного произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора компланарные.
- a · [b × c] = b · (a · c) - c · (a · b)
- a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]
- a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 - тождество Якоби.
-
Определение. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 1).
рис. 1 Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по-этому любые два вектора всегда компланарные.
Условия компланарности векторов
- Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
- Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если они линейно зависимы.
- Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.
Выражение смешанного произведения через координаты
Пусть заданы векторы a =ахi +ayj +azk , b =bxi +byj +bzk , с=cxi +cyj +czk . Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:
Полученную формулу можно записать короче:
так как правая часть равенства (8.1) представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.
Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.
