Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение отa к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c(рис. 1).
рис. 1 |
Формулы вычисления векторного произведения векторов
Векторное произведение двух векторов a = {ax; ay; az} и b = {bx; by; bz} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:
a × b = | i | j | k | = i(aybz - azby) - j(axbz - azbx) + k(axby - aybx) |
ax | ay | az | ||
bx | by | bz |
a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}
Свойства векторного произведения векторов
-
Геометрический смысл векторного произведения.Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:Sпарал = [a × b]
-
Геометрический смысл векторного произведения.Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:
SΔ = 1 |a × b| 2 -
Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.
-
Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.
-
a × b = -b × a
-
(k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
-
(a + b) × c = a × c + b × c