Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов 
и 
.
То есть, для векторов 
на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид
,
а для векторов 
в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится как
.
Таким образом, мы имеем третье определение скалярного произведения. Покажем, что это определение эквивалентно первому.
Сначала докажем равенства 
для векторов на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.
Отложим от начала координат (точка О) векторы 
и 
. Тогда 
(при необходимости обращайтесь к статьям операции над векторами и их свойства иоперации над векторами в координатах).
Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. Потеореме косинусов мы можем записать 
. Так как 
, то последнее равенство можно переписать как 
, а по первому определению скалярного произведения имеем 
, откуда 
.
Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем
Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств 
для векторов , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости 
, в пространстве 
.
