Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:
a · b = |a| · |b| cos α
Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
Формула скалярного произведения векторов для плоских задач
В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay} и b = {bx ; by} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = ax · bx + ay · by
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay ; az} иb = {bx ; by ; bz} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz
Формула скалярного произведения n -мерных векторов
В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a1 ; a2 ; ... ; an} иb = {b1 ; b2 ; ... ; bn} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + ... + an · bn
Свойства скалярного произведения векторов
-
Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:a · a ≥ 0
-
Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:a · a = 0 <=> a = 0
-
Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:a · a = |a|2
-
Операция скалярного умножения коммуникативна:a · b = b · a
-
Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b
-
(αa) · b = α(a · b)
-
Операция скалярного умножения дистрибутивна:(a + b) · c = a · c + b · cОпределение.Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1).
рис. 1 Условие ортогональности векторов.Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю.a · b = 0
