пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Вопрос 25. Асимптоты кривой. Схема исследования ф-ии.

 

Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно близко приближается график функции.

Определение 2. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви кривой.

 

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты. Прямая aявляется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если выполняется хотя бы одно из условий:

 или .

(при этом функция f(x) может быть вообще не определена соответственно при  и).

Замечание. Символом

обозначается стремление к a справа, причём остаётся больше a, символом

стремление к слева, причём остаётся меньше a.

Из сказанного следует, что вертикальные асимптоты кривой нужно искать в точках разрыва и на границах области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.


Пример 1. График функции = ln имеет вертикальную асимптоту = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy) на границе области определения, так как

(рис. слева).


Горизонтальные асимптоты. Если

то – горизонтальная асимптота кривой f(x) (правая при , левая при и двусторонняя, если пределы при равны).


Пример 2. График функции

при > 1 имеет левую горизонтальную асимпототу = 0 (т.е. совпадающую с осьюOx), так как

Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку

 


Наклонные асимптоты. Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой.


Теорема. Для того, чтобы кривая f(x) имела асимптоту kx b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

          (1)

или

      (2)


В первом случае получается правая наклонная асимптота, во втором – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.

При совпадении пределов (1) и (2) прямая kx является двусторонней асимптотой кривой.

Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту kx b, не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).

Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной kx при = 0.

Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.

Общая схема исследования функций

и построения их графиков

 

При исследовании функций и построении их графиков целесообразно пользоваться следующей схемой.

1.  Нахождение области определения функции.

2.  Исследование функции на четность и нечетность.

3.  Установление области непрерывности  функции и точек разрыва. Отыскание вертикальных асимптот.

4.  Исследование поведения функции при image002.gif (если она там определена). Отыскание горизонтальных и наклонных асимптот.

5.  Нахождение экстремумов и интервалов монотонности функции. Составление таблицы.

6.  Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции.

7.  Нахождение точек пересечения графика функции с осями, интервалов знакопостоянства  функции. Составление таблицы. Отыскание дополнительных точек для построения графика.

8.  Построение графика функции.


24.01.2016; 01:14
хиты: 116
рейтинг:0
Точные науки
математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь