Выпуклость, вогнутость функции, точка перегиба.
Определение.
Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.
Определение.
Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.
Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз –вогнутой.
Посмотрите на чертеж, иллюстрирующий эти определения.
Пусть функция y = f(x) имеет двойную производную во всех точках (а; в)
Если f’’(x)<0, всюду на интервале (а; в), то график f(x) выпуклый.
Если f’’(x)>0, во всех точках интервала (а; в), то график f(x) выпуклый на этом интервале.
Доказательство: Для определённости предположим, что f’’(x)>0, возьмём на графике функции производную точку Мо (xo; f(xo)) и проведём через неё касательную.
Докажем, что график расположен ниже касательной для одной и той же оси абсцисс, ордината кривой должна быть меньше ординаты касательной. Запишем равнение касательной:
y кас = f(xo) + f’(xo)(x - xo)
Найдём координат график касательной для одной и той же оси абсцисс:
< y = f(x)
y – yкac = f(x) – (f(xo) + f’(xo)(x – xo))
y – yкac = f(x) – f(xo) - f’(xo)(x – xo)
По формуле конечных превращений:
f(x) – f(xo)= f’(с)(x – xo), где с – принимает (хо; х), тогда
y – yкac = f’(c)(x – xo) - f’(xo)(x – xo)
Тогда по формуле конечных превращений:
f’(с) - f’ (xo) = f”(c1)(c – xo), где с1э (с; хо)
с1э (хо; х)
y – yкac = (x – xo) * f’’(с1)(с – хо)
Разности х – хо и с – хо, имеют одинаковый знак, так как заключены между (х; хо)
(x – xo)(с – хо) > 0
f”(c1) < 0 => y – yкac
Замечание: Могут встречается случай, когда вторая производная непрерывной функции разрывна или не существует, однако хо, является точкой перегиба.
