пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Вопрос 19. Критерий постоянства функции на промежутке. Необходимое и достаточное условие монотонности ф-ии.

 

Определение возрастающей и убывающей функции
Пусть y=f(x) является дифференцируемой функцией на интервале (a,b). Функция называетсявозрастающей (или неубывающей) на данном интервале, если для любых точек x1,x2(a,b), таких, что x1<x2, выполняется неравенство f(x1)f(x2). 

Если данное неравенство является строгим, т.е. f(x1)<f(x2), то говорят, что функция y=f(x) являетсястрого возрастающей на интервале (a,b). 

Аналогично определяются убывающая (или невозрастающая) и строго убывающая функции. 

Введенные понятия можно сформулировать в более компактной форме. Функция y=f(x) называется
  • возрастающей (неубывающей) на интервале (a,b), если
    x1,x2(a,b):x1<x2f(x1)f(x2);
  • строго возрастающей на интервале (a,b), если
    x1,x2(a,b):x1<x2f(x1)<f(x2);
  • убывающей (невозрастающей) на интервале (a,b), если
    x1,x2(a,b):x1<x2f(x1)f(x2);
  • строго убывающей на интервале (a,b), если
    x1,x2(a,b):x1<x2f(x1)>f(x2).
Ясно, что неубывающая функция может содержать участки строгого возрастания и интервалы, где функция является постоянной. Схематически это иллюстрируется на рисунках 14.
возрастающая функция
 
строго возрастающая функция
Рис.1
 
Рис.2
убывающая функция
 
строго убывающая функция
Рис.3
 
Рис.4
Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b) и принадлежит к одному из четырех рассмотренных типов (т.е. является возрастающей, строго возрастающей, убывающей или строго убывающей), то такая функция называется монотонной на данном интервале. 

Понятия возрастания и убывания функции можно определить также и для отдельной точки x0. В этом случае рассматривается малая δ-окрестность (x0δ,x0+δ) этой точки. Функция y=f(x) является строго возрастающей в точке x0, если существует число δ>0, такое, что
x(x0δ,x0)f(x)<f(x0);
x(x0,x0+δ)f(x)>f(x0).
Аналогичным образом определяется строгое убывание функции y=f(x) в точке x0.
Критерий возрастания и убывания функции
Снова рассмотрим функцию y=f(x), считая ее дифференцируемой на некотором интервале (a,b).Возрастание или убывание функции на интервале определяется по знаку первой производной функции. 

Теорема 1
Для того, чтобы функция y=f(x) была возрастающей на интервале (a,b), необходимо и достаточно, чтобы первая производная функции была неотрицательной всюду на данном интервале:
f(x)0x(a,b).
Аналогичный критерий действует для случая функции, убывающей на интервале (a,b):
f(x)0x(a,b).
Докажем обе части теоремы (необходимость и достаточность) для случая возрастающей функции. 

Необходимое условие
Рассмотрим произвольную точку x0(a,b). Если функция y=f(x) возрастает на (a,b), то по определению можно записать, что
x(a,b):x>x0f(x)>f(x0);
x(a,b):x<x0f(x)<f(x0).
Видно, что в обоих случаях выполняется неравенство
f(x)f(x0)xx00,гдеxx0.
В пределе при xx0 левая часть неравенства равна производной функции в точке x0, т.е. по свойству сохранения знака предела:
limxx0f(x)f(x0)xx0=f(x0)0.
Это соотношение справедливо для любых x0(a,b). 

Рассмотрим достаточное условие, т.е. обратное утверждение. 
Пусть производная f(x) функции y=f(x) неотрицательна на интервале (a,b):
f(x0)0x(a,b).
Если x1 и x2 − две произвольные точки данного интервала, такие, что x1<x2, то по теореме Лагранжаможно записать:
f(x2)f(x1)=f(c)(x2x1),
где c[x1,x2],c(a,b). 

Поскольку f(c)0, то правая часть равенства неотрицательна. Следовательно,
f(x2)f(x1).
т.е. функция y=f(x) является возрастающей на интервале (a,b). 

Рассмотрим теперь случаи строгого возрастания и строгого убывания функции. Здесь существует похожая теорема, описывающая необходимые и достаточные условия. Опуская доказательство, сформулируем ее для случая строго возрастающей функции. 

Теорема 2
Для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a,b) функция была строго возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
  1. f(x)0x(a,b);

  2. Производная f(x) тождественно не равна нулю ни в каком промежутке [x1,x2](a,b).

Условие 1 содержится в теореме 1 и является признаком неубывающей функции. Дополнительное условие 2требуется для того, чтобы исключить участки постоянства функции, в которых производная функции f(x)тождественно равна нулю. 

На практике (при нахождении интервалов монотонности) обычно используется достаточное условие строгого возрастания или строгого убывания функции. Из теоремы 2 следует такая формулировка достаточного признака: 

Если для всех x(a,b) выполняется условие f(x)>0 всюду в интервале (a,b), кроме возможно лишь некоторых отдельных точек, в которых f(x)=0, то функция f(x) является строго возрастающей

Соответственно, условие f(x)<0 определяет строго убывающую функцию. 

Число точек, в которых f(x)=0, является, как правило, конечным. Согласно теореме 2, они не могут плотно заполнять какой-либо промежуток в интервале (a,b). 

Приведем также признак строгого возрастания (убывания) функции в точке: 

Теорема 3
Пусть x0(a,b).
  • Если f(x0)>0, то функция f(x) строго возрастает в точке x0;

  • Если f(x0)<0, то функция f(x) строго убывает в точке x0.

Свойства монотонных функций
Возрастающие и убывающие функции обладают определенными алгебраическими свойствами, которые могут оказаться полезными при исследовании функций. Перечислим некоторые из них:
  1. Если функции f и g возрастают (убывают) на интервале (a,b), то сумма функций f+g также возрастает (убывает) на этом интервале.

  2. Если функция f возрастает (убывает) на интервале (a,b), то противоположная функция f убывает (возрастает) на этом интервале.

  3. Если функция f возрастает (убывает) на интервале (a,b), то обратная функция 1f убывает (возрастает) на этом интервале.

  4. Если функции f и g возрастают (убывают) на интервале (a,b) и, кроме того, f0g0, топроизведение функций fg также возрастает (убывает) на этом интервале.

  5. Если функция g возрастает (убывает) на интервале (a,b), а функция f возрастает (убывает) на интервале (c,d), где g:(a,b)(c,d), то композиция функций fg (т.е. сложная функция y=f(g(x)) также возрастает (убывает) на интервале (a,b).

 

24.01.2016; 00:56
хиты: 152
рейтинг:0
Точные науки
математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь