Определение возрастающей и убывающей функции
Пусть y=f(x) является дифференцируемой функцией на интервале (a,b). Функция называетсявозрастающей (или неубывающей) на данном интервале, если для любых точек x1,x2∈(a,b), таких, что x1<x2, выполняется неравенство f(x1)≤f(x2). Если данное неравенство является строгим, т.е. f(x1)<f(x2), то говорят, что функция y=f(x) являетсястрого возрастающей на интервале (a,b). Аналогично определяются убывающая (или невозрастающая) и строго убывающая функции. Введенные понятия можно сформулировать в более компактной форме. Функция y=f(x) называется
Понятия возрастания и убывания функции можно определить также и для отдельной точки x0. В этом случае рассматривается малая δ-окрестность (x0−δ,x0+δ) этой точки. Функция y=f(x) является строго возрастающей в точке x0, если существует число δ>0, такое, что ∀x∈(x0−δ,x0)⇒f(x)<f(x0);
∀x∈(x0,x0+δ)⇒f(x)>f(x0).
Аналогичным образом определяется строгое убывание функции y=f(x) в точке x0.
Критерий возрастания и убывания функции
Снова рассмотрим функцию y=f(x), считая ее дифференцируемой на некотором интервале (a,b).Возрастание или убывание функции на интервале определяется по знаку первой производной функции. Теорема 1. Для того, чтобы функция y=f(x) была возрастающей на интервале (a,b), необходимо и достаточно, чтобы первая производная функции была неотрицательной всюду на данном интервале: f′(x)≥0∀x∈(a,b).
Аналогичный критерий действует для случая функции, убывающей на интервале (a,b):
f′(x)≤0∀x∈(a,b).
Докажем обе части теоремы (необходимость и достаточность) для случая возрастающей функции. Необходимое условие. Рассмотрим произвольную точку x0∈(a,b). Если функция y=f(x) возрастает на (a,b), то по определению можно записать, что ∀x∈(a,b):x>x0⇒f(x)>f(x0);
∀x∈(a,b):x<x0⇒f(x)<f(x0).
Видно, что в обоих случаях выполняется неравенство
f(x)−f(x0)x−x0≥0,гдеx≠x0.
В пределе при x→x0 левая часть неравенства равна производной функции в точке x0, т.е. по свойству сохранения знака предела:
limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0)≥0.
Это соотношение справедливо для любых x0∈(a,b). Рассмотрим достаточное условие, т.е. обратное утверждение. Пусть производная f′(x) функции y=f(x) неотрицательна на интервале (a,b): f′(x0)≥0∀x∈(a,b).
Если x1 и x2 − две произвольные точки данного интервала, такие, что x1<x2, то по теореме Лагранжаможно записать:
f(x2)−f(x1)=f′(c)(x2−x1),
где c∈[x1,x2],⇒c∈(a,b). Поскольку f′(c)≥0, то правая часть равенства неотрицательна. Следовательно, f(x2)≥f(x1).
т.е. функция y=f(x) является возрастающей на интервале (a,b). Рассмотрим теперь случаи строгого возрастания и строгого убывания функции. Здесь существует похожая теорема, описывающая необходимые и достаточные условия. Опуская доказательство, сформулируем ее для случая строго возрастающей функции. Теорема 2. Для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a,b) функция была строго возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
На практике (при нахождении интервалов монотонности) обычно используется достаточное условие строгого возрастания или строгого убывания функции. Из теоремы 2 следует такая формулировка достаточного признака: Если для всех x∈(a,b) выполняется условие f′(x)>0 всюду в интервале (a,b), кроме возможно лишь некоторых отдельных точек, в которых f′(x)=0, то функция f(x) является строго возрастающей. Соответственно, условие f′(x)<0 определяет строго убывающую функцию. Число точек, в которых f′(x)=0, является, как правило, конечным. Согласно теореме 2, они не могут плотно заполнять какой-либо промежуток в интервале (a,b). Приведем также признак строгого возрастания (убывания) функции в точке: Теорема 3. Пусть x0∈(a,b).
Свойства монотонных функций
Возрастающие и убывающие функции обладают определенными алгебраическими свойствами, которые могут оказаться полезными при исследовании функций. Перечислим некоторые из них:
|
||||||||||||