Дифференциал суммы, произведения, частного
Теорема 13. Пусть функции u = u(x), v = v(x) дифференцируемы.
Тогда
Доказательство
Пусть функция u = u(x) дифференцируема в точкеx0, а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u0 = u(x0), тогда сложная функция y = f(u(x)) дифференцируема в точке x0, причем
| df(u(x)) = f'(u0)u '(x0)dx. |
Так как u '(x0)dx = du, то
| df(u(x)) = f'(u0)du |
Последняя формула показывает, что дифференциал функции записывается формулой одного и того же вида как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции от функции.
Это свойство первого дифференциала называют инвариантностью (неизменностью)
