- y = xn. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:
(a + b)n = an+n·an-1·b + 1/2∙n(n – 1)an-2∙b2+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)an-3b3+…+ bn,
можно доказать, что
Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)n, и, следовательно,
Δy=(x+Δx)n – xn =n·xn-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·xn-2·Δx2 +…+Δxn.
Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.
Найдем предел
Мы доказали эту формулу для n Î N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R.
- y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной.
Так как, f(x+Δx)=sin(x+Δx), то
Таким образом,
- Аналогично можно показать, что
- Рассмотрим функцию y= ln x.
Имеем f(x+Δx)=ln(x+Δx). Поэтому
Итак,
- Используя свойства логарифма можно показать, что
Формулы 3 и 5 докажите самостоятельно.