Функция называется непрерывной в точке , если:
- функция определена в точке и ее окрестности;
- существует конечный предел функции в точке ;
- это предел равен значению функции в точке , т.е.
|
|||||||
Вопрос 30. Непрерывность функции в точке. Арифм. операции.
Понятие непрерывности функции в точкеОсновные понятия и определенияОпределение
Функция называется непрерывной в точке , если:
Замечание
При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть Пусть даны две функции и , непрерывные в точке . Рассмотрим их сумму, произведение и частное. Справедливы следующие теоремы: ►Теорема 24.Сумма двух функций, непрерывных в данной точке, непрерывна в этой же точке. ►Теорема 25.Произведение двух функций, непрерывных в данной точке, непрерывно в этой же точке. ►Теорема 26.Частное двух функций, непрерывных в данной точке, непрерывно в данной точке, если значение знаменателя в данной точке не равно нулю. Доказательство этих теорем следует из Определение 71 и соответствующих теорем о пределе суммы, произведения и частного в данной точке. Пример 79.Докажите, что любая целая рациональная функция (многочлен) непрерывна при всех действительных . Доказательство:из Пример 78 следует, что функция (константа) и – непрерывны для всех действительных , а из ►Теорема 24, ►Теорема 25 следует, что многочлен от переменной непрерывен при . Пример 80.Докажите, что рациональная функция непрерывна при всех , при которых . Доказательство:из Пример 79 следует, что и непрерывны при всех , а из ►Теорема 26 следует, что частное и непрерывно при всех , при которых . Рассмотрим композицию непрерывных функций. ►Теорема 27.Пусть функция непрерывна при , а функция непрерывна при , причем . Тогда сложная функция непрерывна в точке . Доказательство:зададим . Так как функция непрерывна в точке , то найдется такое, что из неравенства следует , но функция непрерывна в точке , значит найдется такое, что из неравенства вытекает неравенство ; поскольку , , то при имеем , а значит, . Это и значит, что функция непрерывна в точке . Замечание. ►Теорема 27 обобщается на любое количество композиций непрерывных функций. Пример 81.Докажите, что функция непрерывна при всех действительных . Доказательство:пусть произвольное действительное число, рассмотрим и ; преобразуем , итак, , а это означает (в силу Определение 70), что непрерывна при всех действительных .
Конечно, к тому же выводу мы пришли бы, используя Определение 73. Действительно, неравенство означает, что ; значит, и функция – непрерывна при всех действительных .
|
|||||||
|