|
Признаки сходимости последовательностей. Переход к пределам в неравенствах Для доказательства сходимости последовательности часто полезны следующие признаки. |
|
Признак сходимости последовательности. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел. |
|
Этот признак легко иллюстрируется с помощью числовой оси: двигаясь по ней в одну сторону и не имея возможности перейти через поставленный барьер, мы неограниченно приблизимся к некоторой точке числовой оси. |
В примере с корнями  где  а каждый следующий член последовательности вычисляется по рекуррентной формуле  или  последовательность (an) возрастающая и ограниченная. Действительно, сначала проверим, что an < 2 при всех n. Применим индукцию:  Если an < 2, то an + 2 < 4 и  что и утверждалось. Теперь докажем возрастание последовательности. Нам надо доказать, что  больше, чем an, т. е. проверить неравенство  Так как an > 0, то его можно возвести в квадрат и получить для проверки неравенство  Решая неравенство x2 – x – 2 < 0, получим промежуток (–1; 2), в котором лежат числа последовательности (0 < an < 2). Существование предела полностью доказано. |
|
Принцип сжатой последовательности. Если последовательности (xn) и (zn) сходятся к числу а, а последовательность (yn) такова, что при всех n выполняются неравенства xn ≤ yn ≤ zn то последовательность (yn) сходится к числу а. |
