Определение вектора и операции над ними: Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек) мы будем называть вектором. К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают.
Пусть даны два вектора a и b. Построим равные им векторы AB и BC(то есть перенесем конец а и начало b в одну и ту же точку B). Тогда вектор AC называется суммой векторов а и b и обозначается a+b.
Произведением вектора а на вещественное число α называется любой вектор b, удовлетворяющий следующим условиям: 1)|b|=|α||a| 2)вектор b коллинеарен вектору а 3)векторы b и а направлены одинаково, если α>0, и противоположны, если α<0.
Свойства операций над векторами: 1)Сложение векторов коммутативно, т.е для любых векторов a и b выполнено a+b= b+а 2)Ассоциативно 3)а+0=а 4)а+(-1)а=0 5)Умножение вектора на число ассоциативно 6)Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел 7) Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов 8)1а=а
Линейная зависимость векторов: Векторы a1…an называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулю
Геометрический смысл линейной зависимости: Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, и наоборот, два линейно зависимых вектора коллинеарны. Любые три компланарных вектора линейно зависимы, и наоборот, три линейно зависимых вектора – компланарны. Каждые четыре вектора линейно зависимы
Базис: Базисом в пространстве называют три некомплиарных вектора, взятые в определенном порядке. Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке. Базисом на прямой называется любой нулевой вектор на этой прямой.
