Евклидовы пространства и свойства скалярного произведения: Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного умножения: любым двум векторам х и у сопоставлено вещественное число (обозначаемое (х.у)), и это соответствие удовлетворяет следующим условиям, каковы бы ни были векторы х,у, и z и число α: 1)(х,у)=(у,х) 2)(х+у,z)=(x,z)+(y,z) 3)(αx,y)= α(x,y) 4)(x,x)>0, если x неравен 0.
Простейшие следствия из аксиом: 1)(х,αу)=α(х,у) 2)(x. y+z)=(x,y)+(x,z) 3)(1)
4) (x, 0) = 0
Неравенство Коши-Буняковского и следствия из него: Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением (~,~). Пусть ||~|| - норма, порожденная скалярным произведением, то есть тогда для любых имеем , причем равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы x и у пропорциональны (Коллинеарны).
Ортонормированный базис: Систему векторов f1…fm мы назовем ортонормированной, если (fi,fj)=0 при i неравном j и (fi,fi)=1 какими бы ни были i и j.
Ортонормированная система векторов линейно независима. В n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированная система из n-векторов.
Скалярное произведение в произвольном и ортонормированном базисах: Пусть в евклидовом пространстве задан базис е1…еn, тогда для произвольного базиса скалярное произведение примет вид:
Используя 1 формулу можем переписать в виде:
Для ортонормированного базиса:
Матрица Грамма:
Эта матрица называется матрицей Грамма базиса e1…en. Данная матрица не меняется при транспонировании, т.е. она симметричная
