пользователей: 21212
предметов: 10450
вопросов: 177346
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ


Евклидовы пространства. Скалярное произведение и его свойства. Неравенство Коши­-Буняковского и следствия из него. Ортонормированный базис. Скалярное произведение в произвольном и ортонормированном базисах. Матрица Грама.

            Евклидовы пространства и свойства скалярного произведения: Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного умножения: любым двум векторам х и у сопоставлено вещественное число (обозначаемое (х.у)), и это соответствие удовлетворяет следующим условиям, каковы бы ни были векторы х,у, и z и число α: 1)(х,у)=(у,х) 2)(х+у,z)=(x,z)+(y,z) 3)(αx,y)= α(x,y) 4)(x,x)>0, если x неравен 0.

            Простейшие следствия из аксиом: 1)(х,αу)=α(х,у) 2)(x. y+z)=(x,y)+(x,z) 3)(1)

4) (x, 0) = 0

                     Неравенство Коши­-Буняковского и следствия из него: Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением (~,~). Пусть ||~|| - норма, порожденная скалярным произведением, то есть  тогда для любых  имеем , причем равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы  x и у пропорциональны (Коллинеарны).

                     Ортонормированный базис: Систему векторов f1fm мы назовем ортонормированной, если (fi,fj)=0 при i неравном j и (fi,fi)=1 какими бы ни были i и j.

                     Ортонормированная система векторов линейно независима. В n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированная система из n-векторов.

                     Скалярное произведение в произвольном и ортонормированном базисах: Пусть в евклидовом пространстве  задан базис е1…еn, тогда для произвольного базиса скалярное произведение примет вид:

                      Используя 1 формулу можем переписать в виде:

                     Для ортонормированного базиса:

                    

                     Матрица Грамма:  

                     Эта матрица называется матрицей Грамма базиса e1en. Данная матрица не меняется при транспонировании, т.е. она симметричная


12.06.2014; 13:48
хиты: 226
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь