Линейное подпространство: Непустое множество L’ векторов в линейном пространстве L называется линейным подпространством, если а) сумма любых векторов из L’ принадлежит L’ б) произведение каждого вектора из L’ на любое число также принадлежит L’.
Линейная оболочка: Если выполняются условия: a) x и у принадлежат L’ и х= Σλipi(i=1 k) и y= Σμjqj(j=1 m), где p и q – векторы из множества векторов P в линейном пространстве L, б) L’ – подпространство L и L’ – совокупность всевозможных линейных комбинаций, каждая из которых составлена из конечного числа векторов, принадлежащих P, то подпространство L’ – называется линейной оболочкой множества P.
Линейные отображения и операторы: Пусть L и L’ – два линейных пространства, оба вещественные или оба комплексные. Под отображением A пространства L в пространство L’ понимается закон, по которому каждому вектору из L сопоставлен единственный вектор из L’.
Отображение A:L->L’ называется линейным , если для любых векторов х и у из L и любого числа α выполнены равенства: А(х+у)=А(х)+А(у) и А(αх)= αА(х)
Матрицы линейных отображений: Матрицей линейного отображения A:Ln->L’m в паре базисов e и f называется матрица, столбцы которой (в их естественном порядке ) – координатные столбцы векторов А(е1)…А(еn) по базису f. Ранг матрицы линейного отображения равен рангу этого отображения.
Изоморфизм: Взаимно однозначные линейные отображения линейных пространств называются изоморфизмами. Если существует изоморфизм L на L’, то пространства L и L’ называются изоморфными. (Только если размерности равны).
Изменение матрицы линейного отображения при замене базиса: A’=P-1 AS. Где A:Ln->L’m и А, определяется соответственной матрицей А, S и P матрицы перехода, связанные с матрицой A’, через базисы e f e’f’.
