Определение и аксиомы линейного пространства: Множество L мы назовем линейным пространством, а его элементы – векторами, если
1) Задан закон (операция сложения), по которому любым двум элементам х и у из L сопоставляется элемент, называемый их суммой и обозначаемый х+у.
2) Задан закон (операция умножения на число), по которому элементу х из L и числу α сопоставляется элемент из L, называемый произведением х на α и обозначаемый αх.
3) Для любых элементов х, у и z из L для любых чисел α и β выполнены следующие требования(Или аксиомы):
1. х+у=у+х 2.(x+y)+z=x+(y+z) 3.Существует элемент 0, такой , что для каждого х из L, выполнено равенство х+0=х 4.Для каждого х существует элемент –х, такой что х+(-х)=0 5. α(х+у)= αх+ αу 6.( α+β)х= αх+βх 7. α(βх)=(αβ)х 8. Произведение любого элемента х на число 1, равно х, т.е. 1х=х
Примеры линейных пространств: Пусть L – множество многочленов от одной переменной, степень которых не выше заданного числа n.(далее проверка по всем аксиомам). Множество комплексных чисел по отношению к обычным операциям сложения и умножения на комплексное число представляют собой комплексное линейное пространство. Аналогично, множество вещественных чисел по отношению к обычным операциям будет вещественным линейным пространством. Существует линейное пространство, состоящее из 1 элемента. Такое пространство называется нулевым. Единственный элемент по необходимости оказывается 0 и самому себе противоположным.
Элементарные следствия из аксиом линейного пространства: Может быть только один нулевой вектор и для каждого вектора только один противоположный. Противоположным нулевому вектору является он сам, а для х - -х. Для любого вектора выполнено равенство 0х=0, т.к. 0х=0х+х-х=(1+0)х-х=0. Отсюда вытекает, что (-1)х=-х для любого х. (-1)х+х=(1-1)х=0х=0. Произведение любого числа на нулевой вектор, равно нулевому вектору.
Линейная зависимость: Система векторов называется линейно зависимой, если существует равная нулю нетривиальная линейная комбинация этих векторов. В противном случае -> линейно независимая.
Базис: Базисом в пространстве L мы назовем упорядоченную конечную систему векторов, если она а)линейно независима б) каждый вектор из L есть линейная комбинация векторов из этой системы.
