Матрица размеров m X n – совокупность mn чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов. Числа mn – элементы матрицы.
Если количество строк равно количеству столбцов, то матрица квадратная, а число её строк – порядок. В других случаях, матрица прямоугольная. Если все элементы матрицы равны 0, то это нулевая матрица. Две матрицы равные – если они имеют одинаковые размеры и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.
Транспонированная матрица: Матрице A, размером m X n, можно сопоставить транспонированную матрицу AT n X m, определяемую по следующему правилу: bji=aij, то есть элементы каждой строки матрицы A, записываются в том же порядке в столбцы матрицы B, причем номер столбца совпадает с номером строки. Эта операция называется транспонированием.
Сложение матриц: Матрица С, определяемая по А и В формулой cij=aij+bij , называется их суммой и обозначается A+B. То есть каждый элемент матрицы C, является суммой элементов матриц A и B, стоящих на том же месте.
Сумма определена только для матриц одни и тех же размеров.
Умножение матрицы на число: Матрица С, элементы которой cij равны произведениям элементов aij матрицы A на число α, называется произведением A на α и обозначается αА. Мы имеем: cij= αaij.
Линейная зависимость и независимость столбцов и строк матрицы:
Зависимость: Столбец q назовем линейной комбинацией столбцов p1…pm одинаковой высоты, если при некоторых числах α1… αm, выполняется условие:
q=Σakpk(k=1,m)
или сумма всех столбцов от 1 до m равна столбцу q.
Независимость: Система из s столбцов a1…as, одной и той же высоты называется линейно независимой, если мз равенства:
α 1a1+… αsas=0 (1)
Следует α1= α2=…= αs=0. В противном случае, если существует s чисел α1… αs, одновременно не равных нулю и таких, что выполнимо равенство (1), система a1…as называется линейно зависимой.
Умножение матриц и его свойства: Матрицу С, элементы которой выражаются через элементы матриц А и В по формулам:
cij=Σaikbkj (k=1, n)
(i=1,..,m;j=1,…,p)
Назовем произведением A на B и обозначим AB, где матрица имеет размер m X n, а матрица B n X p.
Свойства: Умножение матриц не коммутативно. Если две матрицы удовлетворяют условиям AB=BA, то они перестановочные (Например еденичная матрица).
Умножение матриц ассоциативно т.е. если определены произведения AB и (AB)C, то определены BC и AB(C) и выполнено равенство (AB)C =A(BC).
Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению, т.е. если имеет смысл выражение A(B+C), то
A(B+C)=AB+AC
Если произведение AB имеет смысл, то:
α(AB)=( αA)B=A(αB)
Ранг произведения двух матриц не превосходит ранг сомножителей.
