пользователей: 21212
предметов: 10450
вопросов: 177346
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ


Определение и виды матриц. Транспонированная матрица. Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Линейная зависимость и независимость столбцов и строк матрицы. Умножение матриц и его свойства.

Матрица размеров m X n – совокупность mn чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов. Числа mn элементы матрицы.

            Если количество строк равно количеству столбцов, то матрица квадратная, а число её строк – порядок. В других случаях, матрица прямоугольная. Если все элементы матрицы равны 0, то это нулевая матрица. Две матрицы равные – если они имеют одинаковые размеры и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

            Транспонированная матрица: Матрице A, размером m X n, можно сопоставить транспонированную матрицу AT n X m,  определяемую по следующему правилу: bji=aij, то есть элементы каждой строки матрицы A, записываются в том же порядке в столбцы матрицы B, причем номер столбца совпадает с номером строки. Эта операция называется транспонированием.

            Сложение матриц: Матрица С, определяемая по А и В формулой cij=aij+bij , называется их суммой и обозначается A+B. То есть каждый элемент матрицы C, является суммой элементов матриц A и B, стоящих на том же месте.

            Сумма определена только для матриц одни и тех же размеров.

            Умножение матрицы на число: Матрица С, элементы которой cij равны произведениям элементов aij матрицы A на число α, называется произведением A на α и обозначается αА. Мы имеем: cij= αaij.

                    Линейная зависимость и независимость столбцов и строк матрицы:

Зависимость: Столбец q назовем линейной комбинацией столбцов p1pm одинаковой высоты, если при некоторых числах α1… αm, выполняется условие:

                                   q=Σakpk(k=1,m)

            или сумма всех столбцов от 1 до m равна столбцу q.

            Независимость: Система из s столбцов a1as, одной и той же высоты называется линейно независимой, если мз равенства:

                                   α 1a1+… αsas=0 (1)

            Следует α1= α2=…= αs=0. В противном случае, если существует  s чисел α1… αs, одновременно не равных нулю и таких, что выполнимо равенство (1), система a1as называется линейно зависимой.

            Умножение матриц и его свойства: Матрицу С, элементы которой выражаются через элементы матриц А и В по формулам:

                                   cij=Σaikbkj (k=1, n)

                                   (i=1,..,m;j=1,…,p)

Назовем произведением A на B и обозначим AB, где матрица имеет размер m X n, а матрица B n X p.

            Свойства: Умножение матриц не коммутативно. Если две матрицы удовлетворяют условиям AB=BA, то они перестановочные (Например еденичная матрица).

Умножение матриц ассоциативно т.е. если определены произведения AB и (AB)C,  то определены BC и AB(C) и выполнено равенство (AB)C =A(BC).

Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению, т.е. если имеет смысл выражение A(B+C), то

           A(B+C)=AB+AC

Если произведение AB имеет смысл, то:

           α(AB)=( αA)B=A(αB)

Ранг произведения двух матриц не превосходит ранг сомножителей.

 

 


12.06.2014; 13:48
хиты: 340
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь