Алгебраическая система
Алгебраической системой A называется совокупность ‹M,O,R›, первая составляющая которой M есть непустое множество, вторая компонента O – множество алгебраической операций, третья компонента R – множество отношений на множестве M.
Морфизмы
Каждая алгебраическая структура выделяет класс отображений между объектами с данной структурой, согласованных с операциями этой структуры.
Алгебры с одной бинарной операцией
Пусть на множестве М задана одна бинарная операция. Рассмотрим порождаемые ею алгебры, но предварительно рассмотрим некоторые свойства бинарных операций.
Бинарная операция * на множестве М называется ассоциативной, если a*(b*c) = (a*b)*c для всех a, b, c принадлежащих множеству М.
Бинарная операция * на множестве М называется коммутативной, если a*b = b*a для всех a, b принадлежащих множеству М. Требования коммутативности и ассоциативности независимы, т. из ассоциативности не следует коммутативность и наоборот.
Множество М с заданной на нем бинарной ассоциативной операцией f2 называется полугруппой <М, f2>.
Полугруппа с единичным (нейтральным элементом) принято называть моноидом или просто полугруппой с единицей.
Алгебра вида <М, f2> называется группоидом.
Если f2 — операция типа умножения (), то группоид называют мультипликативным, если f2 - операция типа сложения (+), то аддитивным.
Полугруппа <М, º > в которой выполнимы обратные операции: для любых a и b, принадлежащих М, каждое из уравнений a º x =b, y º a = b, обладает единственным решением, называется группой.
Группа с коммутативной операцией называется коммутативной, но чаще ее называют абелевой.
Алгебра с двумя операциями.
Алгебра <М, *, +>, которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению — абелевой группой, причем умножение связано со сложением законами дистрибутивности
а*(b + с) = а*b + a*с,
(b + с) *а = b*а + с*а,
называется кольцом.
Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом.
Тело, у которого мультипликативная группа абелева, называется полем.
Отношения
Фундаментальным понятием дискретной математики является понятие отношения, которое используют для обозначения связи между объектами или понятиями.
Квадратом множества М называется декартово произведение двух равных между собой множеств: М*М = М2. Бинарным отношением Т в множестве М называется подмножество его квадрата: Т - подмножество М2 . Элементы тi, и тj, находятся в отношении T, если они принадлежат Т .
