Декартово произведение:
Булеан и универсумом
Для каждого множества М существует множество, элементами которого являются подмножества множества М и только они. Такое множество будем называть семейством множества М или булеаном этого множества и обозначать В(М), а множество М — универсальным, универсумом или пространством и обозначать 1.
Ограниченные множества. Границы множеств
Пусть на некотором множестве X задана числовая функция f(х).
Верхней гранью (границей) функции f(х) называется такое число С, что для любого элемента x∈X С≥f(х).
Нижней гранью (границей) функции f(х) называется такое число d, что для любого элемента x∈X d≤f(х).
Границы С, d оценивают значение функции f(х) сверху и снизу.
Или пусть X – частично упорядоченное множество. Е – подмножество множества X, то есть E ⊂ X .
Элемент y ∈ X является верхней (нижней) границей множества Е, если для любого
x∈E справедливо неравенство x ≤ y (x ≥ y). Совокупность всех верхних границ Е будем обозначать Еs, а всех нижних границ – через Еi. В случае, когда Еs (Еi) не пусто то, говоря, что Е ограничено сверху (снизу).
Пусть X - частично упорядоченное множество, Е — подмножество множества X. Элемент y ∈ X есть верхняя {нижняя} граница множества Е, если для любого x ∈ X справедливо неравенство х ≤ у (соответственно, х ≥ у).
Точная верхняя (нижняя) граница
Совокупность всех верхних границ Е обозначается через Еs, всех нижних границ - через Еi. В случае, когда Еs (Еi) непусто, говорят, что Е ограничено сверху {снизу). Если элемент z принадлежит пересечению E I Es (соответственно, E I Ei ), то он является наибольшим {наименьшим} элементом множества Е. Выражение типа (Еs)i эквивалентно Еsi. Непустота пересечения Es I Esi { Ei I Eis } означает, что среди верхних (нижних) границ Е имеется наименьшая (наибольшая); ее называют точной верхней {нижней) границей, или верхней {нижней) гранью множества Е.
