Бинарное отношение R на множестве Х обладает следующими свойствами: (а) рефлексивно, если хRх для каждого x ∈ X ,
Отношение R на множестве Х является рефлексивным, если оно выполняется между самим элементом, т.е. хRх. Пример, в отношениях «х имеет общий признак с у», «х похож на у» имеет место хRх, так как элемент х похож на самого себя.
- прямая x параллельна прямой y в плоскости z - хRх
- студент x ровесник студенту y – каждый студент сам себе ровесник хRх.
(а1) иррефлексивно, если хRх не имеет смысла
- отношение строго порядка x <x на множестве действительных чисел – оно всегда
ложно.
(а2) антирефлексивно, если хRх для каждого x ∉ X ,
Отношение R на множестве Х является антирефлексивным, если хRх не
выполняется ни для одного хÎX. Например, в отношениях «брат х старше брата у», «операция х выполняется раньше операции у», хRх не выполняется, так как брат х не может быть старше себя, а операция х начаться раньше самой себя.
(б) транзитивно, если (xRy ∧ yRz)⇒ xRz произвольных x, y, z ∈ X ,
Отношение R на множестве Х является транзитивным, если для всех x, y, z ∈ X из
соотношений хRу, уRz следует хRz. Например, в отношении «операция х предшествует операции y, а операция у предшествует операции z из хRу и уRz следует хRz.
- город x связан с городом y шоссейной дорогой – между городом y и z - студент x ровесник студенту y
- треугольник x подобен треугольнику y
- действительное число x больше действительного числа y
(в) симметрично, если xRy ⇒ yRz для произвольных x, y ∈ X ,
Отношение R на множестве Х является симметричным, если для всех х,у∈Х из хRу следует уRх. Например, в отношениях «х похож на у», «операция х несовместима с операцией у» имеет место как хRу, так и уRх. Действительно, если х похож на у, то у похож на х, если операция х несовместима с у, то операция у несовместима с х.
- прямая х перпендикулярна у (не рефлексивно).
- студент х приходится соседом у (не рефлексивно) .
(в1) антисимметрично, если xRy ∧ yRz ⇒ x = y для произвольных x, y ∈ X .
Отношение R на множестве Х является антисиммитричным, если соотношения хRу
и уRх выполняются тогда и только тогда, когда х = у для всех x, y ∈ X . Например, в
отношении «операция х является частью операции у» имеет место хRу и уRх только тогда, когда х = у.
- бинарное отношение включения множеств
(в2) асимметрично, если xRy ∧ yRz ⇒ x = y для произвольных x, y ∈ X .
Отношение R на множестве Х является асимметричным, если из двух соотношений хRу, уRх одно не выполнено для всех x, y ∈ X . Например, в отношениях «х подчиняется у»,
«операция х выполнена раньше операции у» имеет место хRу, но не выполняется уRх.
Помимо этих свойств на практике используются еще следующие: - отношением эквивалентности,
- отношение толерантности
