Отношения
При помощи отношений в математике отображают некоторые связи между элементами множеств. По количестыу элементов, между которыми определны связи отношения делятся на унарные, бинарные, тернарные и n - арные.
Унарные (свойтва) как пример можно расказать про отрицание или про четность нечетность. В них учавствует один элимент.
Бинарные - в них участвуют пары элементов множеств. Они являются упорядоченнными, то есть x предшествует y.
Декартовым (прямым) произведением M = M1 M2 ...Mn множеств Mi (i = 1...n) называется множество, элементами которого являются кортежи длиной n такие, что каждая j- ая компонента есть элемент множества Mj.
То есть A=<1,2> B=<a,b,c> AxB = {<1,a>,<1,b>...<2,c> }
Отношение эквивалентности – это произвольное бинарное отношение R на множестве Х, обладающее свойствами:
- рефлексивности,
- транзитивности
- симметричности.
По смыслу отношение эквивалентности определяется как «элементы х и у одинаковы», «элементы х и у взаимозаменяемы». В этом отношении каждый элемент эквивалентен самому себе (рефлексивность). Если элемент х эквивалентен элементу у, то и элемент у эквивалентен элементу х (симметричность). Если элемент х эквивалентен элементу у, а элемент у эквивалентен элементу z, то элемент х эквивалентен элементу z (транзитивность).
Отношение толерантности
Отношение R на множестве Х называется отношением толерантности, если оно- рефлексивно - симметрично.
Пример. Отношение «игрок х играет сам с собой в шахматы и с другом у» есть отношение толерантности, так как хRх, а хRу влечет уRх.
Отношения порядка
А) Нестрогий порядок
Отношение R на множестве Х называется отношением нестрого порядка, если оно
- рефлексивно,
- антисимметрично
- транзитивно.
Отношения ≤, ≥ на множестве чисел Х являются отношениями нестрогого порядка, так
как любое число хÎХ равно самому себе (рефлексивность).
Для любой пары чисел х,уÎХ при а≤b не выполняется b≤a, а при а≥b не выполняется
b≥a (антисимметричность).
Для любой тройки чисел х,у,zÎX, если а≤b и b≤с, то а≤с или, если а ≥b, b≥с, то а ≥с
(транзитивность).
Б) Отношение частичной упорядоченности
Отношение частичной упорядоченности - это произвольное бинарное отношение,
обладающее свойствами:
- рефлексивности,
- транзитивности
- антисимметричности.
В) Отношение строго порядка
Отношение R на множестве Х называется отношением строго порядка, если оно
- антирефлексивно,
- антисимметрично
- транзитивно.
