Фрактальная графика. Сущность и математический аппарат. Достоинства и недостатки.

Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает «состояние из фрагментов». Оно было предложено математиком Бенуа Мандельбромом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.
Из всех типов фракталов наиболее наглядными являются геометрические фракталы. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называется генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломанную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. Объект называют самоподобным, когда увеличенные части объекта походят на сам объект и друг на друга.
Геометрические фракталы

Следующую группу составляют фракталы, которые генерируются согласно методу "систем итеративных функций" - IFS (Iterated Functions Systems). Этот метод может быть описан, как последовательный итеративный расчет координат новых точек в пространстве:

xk+1 = Fx(xk,yk),

yk+1 = Fy(xk,yk),

где Fx и Fy - функции преобразования координат, например, аффинного преобразования. Эти

функции и обуславливают форму фрактала. В случае аффинного преобразования необходимо найти соответствующие числовые значения коэффициентов.

Попробуем разработать фрактал, который выглядел бы, как растение. Вообразим ствол, накотором много веточек. На каждой веточке много меньших веточек и так далее. Наименьшие ветви можно считать листвой или колючками. Все элементы будем рисовать отрезками прямой. Каждый отрезок будет определяться двумя конечными точками.

Для начала итераций необходимо задать стартовые координаты концов отрезка. Это будут точки 1, 2. На каждом шаге итераций будем рассчитывать координаты других точек.

Сначала находим точку 3. Это повернутая на угол α точка 2, центр поворота - в точке 1 (рис. 4.3):

x3 = (x2 –x1) cos α – (y2 –y1) sin α + x1,

y3 = (x2 –x1) sin α + (y2 –y1) cos α + y1.

Если α = 0 , то ствол и все ветви прямые. Потом находим точку 4. От нее будут распространяться ветви. Пусть соотношение длин отрезков 1- 4 и 1 - 3 равняется k, причем 0 < k < 1. Тогда для вычисления координат точки 4 можно воспользоваться такими формулами:

x4 = x1 (1-k) + x3 k,

y4 = y1 (1-k) + y3 k.

Теперь зададим длину и угол наклона ветвей, которые растут из точки 4. Сначала найдем координаты точки 5. Введем еще один параметр - k1, который будет определять соотношение длин отрезков 4-5 и 4-3, причем 0 < kl < 1. Координаты точки 5 равняются

x5 = x4 (1-k1) + x3 k1,
y5 = y4 (1-k1) + y3 k1.

Точки 6 и 7 - это точка 5, но повернутая относительно точки 4 на углы β и - β соответственно:

x6 = (x5 –x4) cos β – (y5 –y4) sin β + x4,
y6 = (x5 –x4) sin β + (y5 –y4)cojs β + y4,
x7 = (x5 –x4) cos β + (y5 –y4) sin β + y4,
y7 = (x5 –x4) sin β + (y5 –y4) cos β + y4,

Достоинства и недостатки:

+ Возможность получения сколь угодно сложных образов из набора элементарных составляющих + Возможность использования фрактальных методов в неграфических областях
- Значительные вычислительные затраты
- При конструировании фрактальных рисунков осуществляется обработка растровых массивов, что ведет к снижению качества изображения

К базовым пакетам относят:

Meta Creation
Diable
Chaos
Fractal II+