Метод решает задачу обеспечения устойчивости движения нелинейной системы. Выбирается определённо-положительная функция координат системы V и далее обеспечивается уменьшение этой функции с течением времени, т. е. необходимо выполнение условия dV/dt < 0 .
Согласно теории Ляпунова, если существует знакоопределённая функция V , производная которой по времени, в силу дифференциальных уравнений системы, представляет собой знакоопределённую функцию противоположного с V знака, то возмущённое движение асимптотически устойчиво.
Рассмотрим синтез СНС с эталонной моделью типа М1 на основе прямого метода Ляпунова применительно к ОУ с передаточной функцией (1) . Пусть переменным параметром ОУ является коэффициент передачи K0 , коэффициент передачи модели KM = const, постоянные времени объекта и моделей равны и неизменны T0 = TM (рис.3 ). При этом полагаем, что в процессе самонастройки коэффициент передачи K0 не изменяется (принцип квазистационарности).
ДУ основной системы и модели: (8) (9)
Вычитая из (9) уравнение (8), получим дифференциальное уравнение ошибки e(t) = xм(t) – x(t) : или (10)
где
Функцию Ляпунова выбираем квадратичной определённо-положительной формы (11) где l - положительно-постоянный коэффициент.
Производная функции Ляпунова:
Подставляя в последнее уравнение выражение для производной ошибки из (10), получаем:
Для обеспечения неположительности производной функции Ляпунова достаточно выполнения соотношения: Подставляя в это равенство выражение для получаем следующий алгоритм самонастройки
Канонические структуры