Во многих задачах коэффициенты q  и q’ сложно зависят от амплитуды а, а в ряде случаев и от частоты ω. В таких случаях удобнее линеаризовать характеристическое уравнение  записывают в виде   не подставляя зависимости q и q’ от a и ω. Тогда для определения периодических движений получаем 2 уравнения: Х(ω,q,q’)=0, Y(ω,q,q’)=0   (2)

Для общего случая задач, в которых каждый из коэффициентов q и q’ зависят от обеих известных a и ω, т.е.

q=q(a,ω), q’=q’(a,ω)  (3), можно применить следующий прием решения.

Задаваясь различными значениями а и ω  построим по формулам (2) две серии кривых: q(ω) и q’(ω) при различных а=const.

Затем из уравнения (1) выразим q=Z₁(ω),  q’=Z₂(ω) и эти две кривые нанесем на тех же графиках. Теперь остается найти такие точки С и В, в которых кривые Z₁ и Z₂ пересекают линии с одинаковыми значениями а при одном и том же значении ω.

Полученные величины а_п и ω_п будет решением задачи, то есть амплитудой и частотой искомого периодического решения.  

Во многих встречающихся на практике задачах вместо (3) будет q=q(a), q’=q’(a). Тогда кривые q и q’ для разных амплитуд будут иметь вид горизонтальных прямых линий.

В простейшем случае, когда в системе имеется однозначная нечетно-симметричная нелинейность F (х), для которой q = q (а) и q’ = 0, из уравнений (2) можно найти q(a)=Z(ω). Тогда, исключив q из уравнений (2), найдем частоту ω= ω_п как функцию параметров системы. Затем, изобразив график зависимости q(а) проведем на нем горизонтальные линии q = Z(ω)  для разных постоянных значений ω= ω_п, т. е. для разных соотношений параметров системы. Точки пересечения этих прямых ω= ω_п с кривой q(а) (например, на рис. точки a_п1 и а_п2) определяют в каждом случае амплитуды периодических решений. Если пересечений нет, то и периодических решений в системе не будет. В простейших случаях уравнение q(a)=Z(ω) решается аналитически.