Закон цілих чисел та аналітичні методи опису кристалічних багатогранників
Р.-Ж. Гаюї (1784 — 1801 рр.) відкрив другий емпіричний закон геометричної кристалографії — закон раціональності відносин параметрів (закон цілих чисел). Цей закон має важливе значення в кристалографії. Це відкриття було першим прямим доказом перервної будови матерії, воно передувало відкриттю закону цілих чисел у хімії (Дальтон, 1808 г.). Установлений прямий вплив відкриття Гаюї на Дальтона.
Гаюї зробив істотну спробу проникнути в таємницю будови речовини, створивши для пояснення закону раціональності відносин параметрів струнку для того часу теорію будови кристалів з багатогранних молекул, що мають різні розміри по різних напрямках.
При рості кристалів грані саме переміщаються паралельно самим собі, при цьому відносне переміщення окремих граней може сильно мінятися залежно від умов росту, але кути нахилу по відношенню друг до друга й координатним осям залишаються постійними.
Закон раціональності відносин параметрів (закон цілих чисел) може бути сформульований так:
Відношення відрізків (параметрів), що відтинаються гранню кристала на трьох координатних осях, дорівнює відношенню цілих і взаємно простих чисел, за умови, що ці параметри вимірюються особливими одиницями для кожної з осей. За одиниці виміру повинні бути взяті параметри деякої іншої грані кристала.
Г рань, параметри якої прийняті за одиниці виміру параметрів інших граней, називається одиничною гранню.
Г аюї показав, що закон цілих чисел — закон раціональності відносин параметрів — є таким же загальним законом для всіх кристалів, як і закон сталості двогранних кутів. Для всіх обмірюваних на той час кристалів і для всіх граней кожного кристала була показана справедливість цього закону.
Г аюї не зупинився на простім констатуванні закону, він зробив спробу пояснити його, виходячи з молекулярної теорії. Згідно Гаюї молекули речовини мали форму багатогранників, аналогічним кристалічним багатогранникам.
Кристалографічні символи граней кристалу - це математичні величини, які визначають їх положення в просторі.
Згідно закону Р.Ж. Гаюї, для визначення символів будь-якої грані кристалу необхідна наявність координатних осей, які перетинаються в одній точці, і одиничної (масштабної) грані.
Вибір координатних осей та одиничної грані, називається встановленням кристалу.
Одинична грань - це дійсна або можлива грань кристалу, яка перетинає всі кристалографічні осі і відтинає на них одиничні відрізки. Вони і служать мірою - масштабом для вимірювання відрізків, які відтинають грані на кристалографічних осях. Ці відрізки називаються параметрами Вейса і позначаються (р, q, г).
Кристалографічна система координат вибирається в залежності від симетрії кристалу. В загальному випадку - це косокутна система з неоднаковими одиничними відрізками по осях, що дає можливість описати положення будь-якої грані простими цілими числами. Кристалографічні осі повинні бути паралельними або співпадати з рядами просторової гратки.
Символ грані - умовне позначення, що складається з трьох (чотирьох) індексів Міллера і характеризує положення грані в системі кристалографічних координат.
Індекси Міллера - прості цілі числа, які позначаються (Нкі) або (ккиї) і дорівнюють відношенню параметрів Вейса, що відтинають одинична і досліджувана грань на кристалографічних осях.
Виведемо закон Гаюї.
Кристал характеризується кристалічної граткоюбз параметрами: а, Ь, с та а, в, у. За осі приймаємо приймаємо ряди
Грань АВС має параметри ОА, ОВ та ОС. Відповідно грань АіВіСі має параметри ОАі , ОВ1 та ОС1 (рис.2).
Параметри будь-якої грані виражаються цілими числами, оскільки згідно уявленнями про про будову кристалічної гратки. Грані обов’язково проходять через її вузли, а вони знаходяться вздовж ряду (осі) на рівних відстанях: а, в, с.
Так параметри грані АВС: ОА=2а; ОВ=с; ОС=2в;
АіВіСі: ОАі=3а; ОВі=3с; ОСі=4в
Взявши подвійні відношення граней отримаємо:
ОАі/ ОА : ОСі/ ОС : ОВі/ ОВ = 3а/2а : 4в/2в : 3с/с = 3:4:6.
Взявши любі грані і скориставшись цим законом, завжди отримаємаємо цілі
прості числа.
Вибір кристалографічних осей
В кристалографії використовується права система координат. Вона може бути триосною - X, У, Z - для більшості сингоній(рис. 3), або чотириосною - X, У, и, Z - для кристалів тригональної та гексагональної сингоній (рис.4).
Орієнтація осей в просторі має бути наступною: вісь Z - вертикальна, її додатній кінець зверху; вісь У розміщена паралельно очам дослідника, її додатній кінець справа; вісь Х спрямована в бік дослідника додатнім кінцем. В чотириосній системі координат осі X, У, и мають лежати в одній площині і утворювати між собою кути 1200, причому додатнім кінцем вісь и спрямована назад (рис 4).
Звичайно за кристалографічні осі приймають осі симетрії, а при їх відсутності - дійсні або можливі ребра кристалу. Початок координат суміщають з центром симетрії многогранника, а якщо його нема - з центральною точкою фігури. Кути між кристалографічними осями - а, р, у (рис.5).
Для кожної сингонії існують правила вибору кристалографічних осей та одиничної грані.
В триклинній сингонії за кристалографічні осі вибирають три дійсні чи можливі ребра (так як нема ні осей, ні площин симетрії). Кути між ними повинні бути близькі до 900. За вісь І слід брати таке ребро, до якого паралельна максимальна кількість граней. В результаті отримуємо косокутну систему координат а Ф РФї, ао Ф Ьо фсо.
За одиничну грань приймають грань моноедра або пінакоіда.
В моноклинній сингонії за вісь У вибирають Ь2 або , коли її нема, перпендикуляр до Р. За осі Х, Z - два ребра, перпендикулярні до осі У. Вісь І орієнтують вертикально, Х - вперед. Одинична грань - грань ромбічної призми або діедра. При цьому а = ї = 900 р Ф 90°, а0 Ф Ь0 Ф с0.
В ромбічній сингонії за осі приймають три наявні одиничні напрямки, які співпадають з осями Ь2 або перпендикулярами до Р. Якщо Ь2 є одна, її завжди приймають за вісь І. Одинична грань - грань ромбічної дипіраміди або тетраедра. При цьому а Ф р = ї = 900, а0 Ф Ь0 Фс0.
В тетрагональній сингонії за вісь Z завжди приймають Ь4 (Ьі4); за осі Х і У - взаємоперпендикулярні осі Ь2 (якщо вони є) або перпендикуляри до 2Р, або два перпендикулярних ребра. При цьому а = р = ї = 900, а0 = Ь0 Ф с0. За одиничну грань приймають грань тетрагональної піраміди, дипіраміди або тетраедра.
В тригональній і гексагональній сингоніях вибирають чотири кристалографічні осі X, У, и, І. За вісь І завжди приймають головну вісь Ь3, Ь6 (Ьі6). За осі X, У, и, І — 3Ь2, або перпендикуляри до 3Р, або три ребра. Найголовніше, що вони мають лежати в одній перпендикулярній до головної осі площині, а кут між ними повинен складати 1200. Їх можна брати перпендикулярно або до граней призми, або до її ребер . Але в усіх випадках алгебраїчна сума індексів досліджуваної грані по осях X, У, и повинна дорівнювати нулю. Таким чином, а = р = а = 1200, а у = 900, а0 = Ь0 ф с0. За одиничну грань вибирають грань піраміди чи дипіраміди (рис 6).
Часто при встановленні кристалів тригональної сингонії, зокрема у вигляді ромбоедрів використовують не 4, а 3 кристалографічні осі. Якщо розглянути ромбоедр, то він відповідає кубу, сплюснутому або витягнутому вздовж однієї з осей Ь3. Тому в якості кристалографічних осей вибирають напрями, паралельні трьом його ребрам, що перетинаються на осі Ь3 під кутом 120°. При цьому а = р = у ф 900, а=в=с.
В кубічній сингонії за осі приймають 3Ь4 , а при їх відсутності 3Ь2 (ні в якому разі не 3£3).Одиничною гранню служить грань тетраедра або октаедра. При цьому осі взаємно перпендикулярні а = р = у = 900, а0 = Ь0 = с0.
Вибір одиничної грані
Якщо сполучити між собою точки виходу додатніх кінців кристалографічних осей, утворюється одинична грань АВС, яка відтинає на осі Х відрізок а0, на осі У- відрізок Ь 0, на осі Z - відрізок с0 (рис. 7). Ці відрізки приймають за осьові масштабні одиниці для вимірювання параметрів граней кристалічного многогранни- ка.
При цьому для кристалів нижчої категорії величина масштабних відрізків по координатних осях є різною а0 фЬ0 фсо, для кристалів середньої категорії а0 = Ь0 Ф с0, для кристалів вищої категорії масштабні відрізки є однаковими а0 = Ь0 = с0. Але незалежно від реального розміру відрізків, масштаб по всіх координатних осях приймається однаковим - одиничним.
Одинична грань в кристалах з трьома кристалографічними осями буде мати символ (ііі), з чотирма осями , залежно від її просторового положення, може мати два символи (І0ІІ) або (іі2і).
Вимірювання відрізків, як правило, проводиться на око. Це не викликає труднощів, так як відношення цих відрізків дорівнює простим цілим числам. Але при необхідності можна користуватися лінійкою або штангенциркулем.
Якщо грань розміщена паралельно одній або двом координатним осям, то її параметри по цих осях дорівнюють знаку нескінченості, а це є незручним при розрахунках. Тому на практиці використовують зворотні величини - тоді нескінченність перетворюється в нуль:
Де Н,к,1 - індекси Міллера, сукупність яких, взята в круглі дужки, назива
ється символом грані (ккі).
Якщо грань перетинає від’ємний кінець осі, то її параметр по цій осі від’ємний. Індекс, який відповідає цьому параметру, також від’ємний, і над ним в
символі ставиться знак мінус (Н к і) або (Нк 1).
Щоб перейти від параметрів Вейса до індексів Міллера, необхідно виконати прості математичні перетворення: привести відношення параметрів одиничної та досліджуваної грані до спільного знаменника і, відкинувши його, отримати індекси Н,к,1 , які складають символ грані.
Наприклад, якщо грань кристалу відтинає на осях відрізки-параметри рщ:г = 4:1:2, то відношення зворотних величин буде становити
Тобто індекси Міллера цієї грані h : к :l = 1: 4: 2, а її символ (142).
Так само виводиться, що грань, паралельна осі Х, буде мати символ (011), паралельна осі Y - (101), паралельна осі Z - (110).
Визначення символів простих форм
Метод кристалографічного індексування дозволяє позначати прості форми, які приймають участь в ограненні кристалів у вигляді умовних величин - символів. При цьому до уваги береться лише сингонія та нахил граней відносно координатних осей. Знаючи символи всіх простих форм та сингонію кристалу, можна точно описати його зовнішнє огранення.
Символ простої форми визначають після визначення символів всіх її граней. Символ простої форми - це індекс тієї з її граней, яка має найбільшу кількість до- датніх індексів. На відміну від символу грані, його беруть не в круглі, а у фігурні дужки. Так, символ гексаедра {100}, октаедра {111} (рис.9), ромбододекаедра {110}.
Якщо в ограненні кристалу бере участь декілька простих форм, то послідовно визначають символ кожної з них. Так, наприклад, символи {110}, {001} в тетрагональній сингонії характеризують кристали у вигляді комбінації тетрагональної призми з пінакоїдом.
