Лекція 3
Взаємодія елементів симетрії
Основне правило: Два елементи симетрії в кристалічному многограннику обов’язково ведуть за собою третій - рівнодіючий елемент, дія якого дорівнює дії перших двох.
На основі цього правила сформульовані і доведені теореми взаємодії різних елеменетів симетрії, які мають практичне значення, оскільки дозволяють точніше і швидше встановлювати формули симетрії кристалічних многогранників.
Теорема 1.
Лінія перетину двох площин симетрії Р завжди є віссю симетрії ^, кут
повороту якої у 2 рази більший ніж кут між сусідніми площинами.
У тетрагональної піраміди є 6Р. Кут між двома сусідніми площинами дорівнює 45° (рис. 1). Тоді лінія їх перетину має бути віссю з кутом а=90° Визначимо: п=360°/90°=4. Це має бути вісь Ц . Насправді тетрагональна піраміда має вісь Ц , яка проходить через вершину і середину основи. Отже, обертання на кут а осі Ц дорівнює дії двох сусідніх площин (Р).
Теорема 2 (теорема Ейлера).
При наявності двох осей симетрії, які перетинаються, утворюються третя рівнодіюча вісь, що проходить через точку їх перетину
При взаємодії двох осей І-2 , що перетинаються в площині малюнку утворилась третя вісь, перпендикулярна до площини їх перетину.
Теорема 3.
Взаємодія двох елементів симетрії із трьох: парної осі (і2п), перпендикулярної до ней площини (Р) і центру симетрії (С) обов’язково породжує третій:
а) якщо в многограннику є С і І-2п перпендикулярно до неї обов’язково має
проходити Р
Многоранник має вісь І-4,4 І-2 та С . Кожній парній осі відповідає перпендикулярна до неї Р . Тобто даний многранник має 5Р.
б) Якщо в многраннику через С проходить Р, то перпендикулярно до неї також через С обов’язково має проходити L2n.
в) Точка перетину L2n з перпендикулярною до неї Р завжди буде С
Наслідок: При наявності у многраннику С сума і2п дорівнює сумі Р, причому кожна парна вісь перпендикулярна до Р.
Приклад: октаедра (рис.4): формула симетрії 3І44І36І2 9Р С кількість парних осей: 3+6=9; кількість площин: 9.
Теорема 4: Якщо перпендикулярно до осі Ln проходить L2 , то всього таких буде n : Ln nL2. В гексагональній дипіраміді перпендикулярно до L6 проходить L2 . Відповідно таких осей буде 6.
Теорема 5. Якщо паралельно осі Ln проходить площина Р то таких площин буде : Ln nР
Наведені теореми обмежують кількість можливих комбінацій (наборів) елементів симетрії, зводячи їх до строго визначеної обмеженої кількості. Наявність одних елементів симетрії (породжуючих) зумовлює обов’язкову присутність інших (породжених). Одиничні напрямки.
Одиничні напрямки (ОН) це єдині напрямки в кристалічному многограннику, які не повторюються.
Як правило одиничним напрямком є головна вісь або осі і2 , або нормалі до Р .
Якщо в кристалі є декілька однакових осей одного порядку, то жодна з них не може бути одиничним напрямком, оскільки вони всі є рівноцінними, а напрямки задані ними, повторюються і називаються симетрично рівними.
В несиметричних фігурах (коли є тільки Ц або тільки С ), будь який напрямок буде одиничним: їх буде безмежна кількість.
Чим вища симетрія кристалу, тим менше він має одиничних напрямків: від кількох до одного. Високосиметричні фігури одиничних напрямків не мають взагалі.
Одиничний напрямок - це допоміжне поняття, що використовується при виведенні виду симетрії кристалу і його категорії.
