Лекція 2
Симетрія кристалів
«Симетрія» - спірозмірність (грецький термін).
Симетрія дуже поширена в природі. Вперше сформулював поняття симетрії вчений Гаюї. Математична теорія симетрії була розроблена в другій половині 19 століття завдяки досягненням кристалографії (вчені Федоров, Шенфліс, Гадолин). В основі чення про симетрію лежить закон сталості двогранних кутів в кристалічних многогранниках.
Якщо кристалічний многогранник має однакові і закономірно розміщені частини (грані, ребра, вершини), які періодично повторюються, він називається симетричним.
Симетрична фігура може суміщатися сама з собою в результаті обертання або дзеркального відбивання.
Симетрія кристалу - закономірне повторення всіх його частин у просторі при обертанні або відбиванні. Вона зумовлена симетрією його внутрішньої будови - симетрією кристалічної гратки, в якій елементарна комірка точно повторюється п - разів.
Для виявлення симетрії кристалу існують елементи симетрії - уявні допоміжні точки, лінії та площини.
Існують закриті та відкриті елементи симетрії. Закриті елементи симетрії характеризують симетрію кінцевих многогранників. До закритих (простих) елементів симетрії належать: центр симетрії (інверсії), осі симетрії, площини симетрії.
Центр симетрії (інверсії) С - особлива точка всередині фігури, по відношенню до якої в діаметрально симетричних напрямках на однакових віддалях знаходяться однакові частини фігури.
Кожній вершині відповідає аналогічна вершина, кожному ребру - паралельне і рвне ребро, кожній грані - рівна за розміром і формою антипаралельна грань, яка лежить по іншу сторону від центру. Для знаходження центру симетрії досліджують паралельність граней.
Центр симетрії це «дзеркальна точка»: т. А, В, Э після відображення в С мають свої дзеркальні аналоги: Аь Вь D1. На рис.1 зображено зворотно паралельні трикутники (антипаралельні) , які зв’язані центром симетрії (С).
Вісь симетрії Ьп це пряма, при повороті навколо якої на певний кут фігура суміщається сама з собою.
Порядок осі симетрії п показує скільки разів фігура суміщається сама з собою при повному оберті навколо цієї осі.
Вперше існування осей симетрії різних порядків емпірично вивів Вейс в 1804-1809 рр.
а - елементарний кут повороту - це той найменший кут, при повороті на який фігура само суміщається.
В природі існує: n Ì [ 1; + ¥ ], n Ì z
При п =1 = 360 °. Кожна фігура має вісь, тому її не приймають до уваги. При п сда кут а є безмежно малий. Це є фігури обертання. Вісь Ь да є в циліндрі, конусі. Куля має безмежну кількість осей Ь да.
В кристалографії існують наступні осі:
п =2 а = 1800 п=3 а = 1200 п=4 а = 900 п=6 а = 600
Осей 5 порядку та осей вище 6 порядку не існує. Це пов’язано з внутрішньою будовою кристалів. Зовнішня форма. симетрія кристалу - відображення внутрішньої будови. Геометрично доводиться, що просторову сітку, відповідно і гратку не можна повністю без проміжків заповнити 5 -кутниками, 7, 8 -кутниками. Між ними завжди будуть лишатись порожнини, що не відповідає класичним уявленням про будову кристалів. Це не відповідає правилам найщільні- шого заповнення.
Виходи осей симетрії:
- у вершинах многогранників
. посередині ребер
- в центрах граней.
Осі бувають полярні і неполярні.
Осі L3, L4, Lб називаються осями вищого порядку.
Якщо в многограннику є лише одна вісь вищого порядку, вона називається головною віссю.
В многранниках, що мають головну вісь, осі L2 можуть проходити тільки перпендикулярно до неї.
Крім поворотних осей існують ще інверсійно-поворотні осі. Вони належать до складних елементів симетрії.
Інверсійно-поворотна вісь - це пряма, при повороті навколо якої на певний елементарний кут з одночасним відображенням в центральній точці фігури як в центрі інверсії, фігура суміщається сама з собою.
Інверсійно-поворотна вісь являє собою сукупність простої осі Ьп і центру, які діють не кожен окремо, а разом. При цьому С як окремого елементу симетрії може і не існувати.
Існують інверсійні осі Li1, Li2, Li3, Li4, Li6. Однак дія деяких з них відповідає простим елеметам симетрії: Li1 ≡ C (поворот на 360º лишає фігуру на місці); Li2 ≡ Р (поворот на 180º і наступне відображення в центрі симетрії рівнозначне відбиванню в дзеркальній площині); Li3 ≡ L3С (така тотожність відбувається в многограннику – кубі). Тому при аналізі елементів симетрії кристалічних многогранників врахову- ють тільки осі Li4 та Li6 .
Дія Li4 полягає в обертанні фігури на 90° з наступним відображенням її в центрі фігури. Дія Lі6 полягає в обертанні фігури на 60° з наступним відображенням її в центрі фігури
Площини симетрії можуть проходити через середини граней або ребер перпендикулярно до них, утворюючи рівні кути з однаковими гранями і ребрами. В многограннику може бути не більше дев’яти площин, крім восьми.
Математично доведено, що крім вищенаведених елементів симетрії С, Р, L2, L3, L4, L6, Li4, Li6 в кристалічних многогранниках, що мають кінцеву структуру, не може бути інших елементів симетрії.
Формула симетрії це сукупність елементів симетрії властивих для даного многогранника. Вона складається із записаних в рядок всіх вияввлених елементів симетрії в певній послідовності: 1 - осі симетрії від вищих до нижчих; 2 - площини симетрії; 3 - цента симетрії.
Приклад запису формули симетрії для гексаедра:, 3L4 4L36L29РС.
Чим вища симетрія, тим складніша формула. В несиметричних фігурах елементи симетрії можуть бути відсутні. Але найчастіше в формулі симетрії є декілька елементів симетрії, причому їх поєднання підпорядковується певним законам.
