С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, – это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел, о которых пойдет речь в следующем параграфе.
Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.
Сложение комплексных чисел
Пример 1
Сложить два комплексных числа ,
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.
Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.
Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: – от перестановки слагаемых сумма не меняется.
Вычитание комплексных чисел
Пример 2
Найти разности комплексных чисел и, если,
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:
Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так:.
Рассчитаем вторую разность: Здесь действительная часть тоже составная:
Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.
Умножение комплексных чисел
Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:
Пример 3
Найти произведение комплексных чисел ,
Очевидно, что произведение следует записать так:
Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным.
Повторим школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена:
Надеюсь, всем было понятно, что
Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.
Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .
Деление комплексных чисел
Пример 4 Даны комплексные числа,. Составим частное:
Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.
Вспоминаем бородатую формулу и смотрим на нашзнаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть
Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число:
Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой (помним, чтои не путаемся в знаках!!!):
В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: .
Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы:
.
Для любителей порешать приведу правильный ответ:
Редко, но встречается такое задание:
Пример 5
Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме).
Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу . В знаменателе уже есть , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение , то есть на
Пример 6
Даны два комплексных числа ,. Найти их сумму, разность, произведение и частное.
Это пример для самостоятельного решения.
Возведение комплексных чисел в степень
Начнем со всем любимого квадрата.
Пример 9
Возвести в квадрат комплексное число
Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.
Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :
Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба суммы и куба разности. Но эти формулы более актуальны длязадач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.
Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ю, 10-ю или 100-ю степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?
И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:
Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел , нужно перемножить их модули и сложить аргументы:
Аналогично для показательной формы: если , то: