Понятие определенного интеграла
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок [a, b ] на n отрезков точками
x0 = a < x1 < … < xk − 1 < xk < … < xn − 1 < xn = b
и введем обозначения
Δxk = xk − xk − 1 (k = 1, …,n); λ = max1≤ k ≤ n Δxk.
На каждом отрезке [x k − 1, x k] выберем произвольным образом точку ξk (k = 1, …,n) и составим сумму
n∑ k = 1
f(ξk) · Δxk , (5)
азываемую (римановой) интегральной суммой функции f(x) на отрезке [a, b ].
Если существует конечный предел интегральных сумм (5) при λ → 0, причем этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка [a , b] на части, ни от выбора точек ξk, то функция f(x) называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [a, b ], а указанный предел называется (римановым)определенным интегралом от f(x) по отрезку [a, b ] и обозначается символом f(x) dx .
Таким образом,
f(x) dx = lim λ → 0
N∑ k = f(ξk) · Δxk
Замечание. Данное Риманом определение интеграла оказалось неудачным. Современная терия интегрирования опирается на определение, данное Лебегом. Она гораздо более мощная и простая в применениях, чем теория Ремана.
