Максимум и минимум функции нескольких переменных
Определение 1. Мы говорим» что функция имеет максимум в точке (т. е. при ), если
для всех точек достаточно близких к точке и отличных от нее.
Определение 2. Совершенно аналогично говорят, что функция имеет минимум в точке если
для всех точек достаточно близких к точке и отличных от нее.
Максимум и минимум функции называются экстремумами функции, т. е. говорят, что функция имеет экстремумв данной точке, если эта функция имеет максимум или минимум в данной точке.
Пример 1. Функция достигает минимума при , т. е. в точке (1, 2). Действительно, , а так как всегда положительны при то Геометрическая картина, соответствующая данному случаю, изображена на рис. 185.
Рис. 185.
Рис. 186.
Пример 2. Функция при (т. е. в начале координат) достигает максимума (рис. 186).
Действительно, Возьмем внутри окружности точку отличную от точки (0, 0); тогда при будет и поэтому
Данное выше определение максимума и минимума функции можно перефразировать следующим образом.
Положим тогда
1) Если при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция достигает максимума в точке
2) Если при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция достигает минимума в точке
Эти формулировки переносятся без изменения на функции любого числа переменных.
Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если функция достигает экстремума при , то каждаячастная производная первого порядка от или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.