пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

2 курс 2 семестр:
» Математика
2 курс 1 семестр:
» Математ
» Химия
» ИМХ
» Физика
1 семестр:
» хим
» Математика
» Физика
» Информатика

Достаточное условие максимума и минимума для функции двух переменных.

 Максимум и минимум функции нескольких переменных

Определение 1. Мы говорим» что функция 1.gif имеет максимум в точке 2.gif (т. е. при 3.gif), если

image1.gif

для всех точек 4.gif достаточно близких к точке 5.gif и отличных от нее.

Определение 2. Совершенно аналогично говорят, что функция 6.gif имеет минимум в точке 7.gif если

image2.gif

для всех точек 8.gif достаточно близких к точке 9.gif и отличных от нее.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции, т. е. говорят, что функция имеет экстремумв данной точке, если эта функция имеет максимум или минимум в данной точке.

Пример 1. Функция 10.gif достигает минимума при 11.gif, т. е. в точке (1, 2). Действительно, 12.gif, а так как 13.gifвсегда положительны при 14.gif то 15.gif Геометрическая картина, соответствующая данному случаю, изображена на рис. 185.

image3.gif

Рис. 185.

image4.gif

Рис. 186.

Пример 2. Функция 16.gif при 17.gif (т. е. в начале координат) достигает максимума (рис. 186).

Действительно, 18.gif Возьмем внутри окружности 19.gif точку 20.gif отличную от точки (0, 0); тогда при 21.gif будет 22.gif и поэтому 23.gif

Данное выше определение максимума и минимума функции можно перефразировать следующим образом.

Положим 24.gif тогда

image5.gif

1) Если 25.gif при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция 26.gif достигает максимума в точке 27.gif

2) Если 28.gif при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция 29.gif достигает минимума в точке 30.gif

Эти формулировки переносятся без изменения на функции любого числа переменных.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если функция 31.gif достигает экстремума при 32.gif, то каждаячастная производная первого порядка от 33.gif или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

 


25.06.2016; 12:44
хиты: 151
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь