пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

2 курс 2 семестр:
» Математика
2 курс 1 семестр:
» Математ
» Химия
» ИМХ
» Физика
1 семестр:
» хим
» Математика
» Физика
» Информатика

Геометрический смысл дифференциала в точке.

Дифференциал функции в точке и его геометрический смысл

Дифференциалом функции opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno в точке opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno называют главную линейную часть приращения функции opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno (строго говоря, его следовало обозначить opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno или opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno). На чертеже дифференциал opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno в точке opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno равен длине отрезка opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno.

Давайте снова возьмём в руки линейку и приложим её ребром к монитору на прямую opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno. Двигая линейку влево к точке opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno, уменьшаем приращение opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno. Впрочем, и сам выполню несколько засечек:
Дифференциал функции в точке. Геометрический смысл дифференциала
По рисунку хорошо видно, что с уменьшением opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno уменьшается и приращение функцииopredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno (малиновые линии). При этом отрезок opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno занимает всё меньшую и меньшую часть приращения функции opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno, а наш дифференциал opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno – всю бОльшую и бОльшую его часть, именно поэтому его и называют главной частью приращения функции. Настолько главной, что при бесконечно малом  opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno дифференциал стремится к полному приращению функции: opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno (соответственно отрезок opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno будет бесконечно малым).

Нетрудно вывести формулу для приближенных вычислений с помощью дифференциала. Рассмотрим прямоугольный треугольник opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno и тангенс угла наклона касательной opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno. Обозначив дифференциал в рассматриваемой точке opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno корректнее через opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno, и учитывая, что opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno, получаем:

opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno

То есть идея формулы приближенных вычислений opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno состоит в том, чтобы точное значение opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno функции (смотрим на ось ординат основного чертёжа) заменить суммой opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno и отрезка opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno. К слову, отрезок opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno на главном чертеже существенно «не достаёт» до полного приращения opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno, и это не случайность. В демонстрационной иллюстрации я выбрал  большое значении opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno, чтобы всё было видно. На практике же, чем приращение opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno меньше – тем дифференциал лучше «дотянется» до полного приращения функции (см. маленький рисунок), и тем точнее сработает формула opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno.

Провернём ещё один неожиданный фокус с полученным равенством opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodnoПредельно малое значение opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno часто обозначают через opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno, поэтому формула принимает вид opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno. Скинем opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno в знаменатель противоположной части:
opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodno


16.06.2016; 11:51
хиты: 165
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь