Дифференцируемость функции. Дифференциал.

Дифференцируемость функции и дифференциал

Пусть функция ${\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ , и $x$ -- произвольная точка этой же области ${\Delta}x=x-x^0$ называетсяприращением аргумента ${\Delta}x=({\Delta}x_1;\dots;De x_n$ , где ${\Delta}f=f(x)-f(x^0)$ называется приращением, или полным приращением функции $x^0$ , соответствующим приращению аргумента ${\Delta}f={\Delta}f(x^0;{\Delta}x)$ -- это функция от точки ${\Delta}x$ .

Предположим, что приращение функции можно представить в виде

$D_1(x^0),\dots,D_n(x^0)$ -- некоторые числа. Подчеркнём, что эти числа не зависят от $x^0$ . Относительно величины ${\Delta}x\to0$ являющаяся величиной большего порядка малости, чем $\displaystyle \lim_{\vert{\Delta}x\vert\to0}\frac{{\alpha}(x^0;{\Delta}x)}{\vert{\Delta}x\vert}=0.$

Заметим, что сумма всех слагаемых левой части (7.2), кроме последнего, -- это линейная функция от приращения аргумента $x^0$ фиксирована. Условие большей малости последнего слагаемого (7.2) относительно $f(x)$ называют дифференцируемой в точке ${\Delta}x$ функцию

$f$ в точке $f$ является дифференцируемой в любой точке открытой области $f$ называют дифференцируемой в области ${\Delta}f$ дифференцируемой функции можно представить в виде суммы дифференциала ${\alpha}$ , который имеет более высокий порядок малости, чем приращение $\displaystyle {\Delta}f=df+{\alpha}.$

Теорема 7.8 Дифференцируемая в точке $\vert{\Delta}x\vert\to0$ , то стремятся к 0 все слагаемые дифференциала: они имеют вид $D_i(x^0)$ не зависит от ${\Delta}x_i\to0$ , поскольку ${\alpha}$ также стремится к 0, так как имеет даже больший порядок малости, чем ${\Delta}f=df+{\alpha}\to0$ . Но условие $f(x^0+{\Delta}x)\to f(x^0)$ при $f$ непрерывна в точке <img height="17" alt="$ x^0$" data-cke-saved-src="http://clubmt.ru/lec5/images/img2830.png" src="http://clubmt.ru/lec5/images/img2830.png" img2830.png"="" width="20" align="bottom" border="0"> .