Геометрический смысл производной

Пусть функция $f $ определена в некоторой окрестности $U(x_0 )$ токи $x_0 $ , непрерывна в этой точке и $y_0 = f(x_0 )$ , а $M_0 = (x_0 ,y_0 )$ (рис.2).

$\includegraphics{D:/html/work/link1/metod/met33/r2.eps}$

Рис. 2

Придав произвольное приращение аргументу $\Delta x$ , так чтобы $x_0 + \Delta x \in U(x_0 )$ , перейдем к точке $M$ с абсциссой $x_0 + \Delta x$ и ординатой $y_0 + \Delta y$ , где $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0 )$ .

Уравнение прямой, проходящей через точки $M_0 $ и $M$ (секущей графика функции $f)$ , имеет вид: $y = \frac{\Delta y}{\Delta x}\left( {x - x_0 } \right) + y_0$ , где отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ представляет собой угловой коэффициент секущей ( $tg\varphi )$ .

Касательной к графику функции $f $ в точке $M_0 $ называется предельное положение секущей $M_0 M$ , при стремлении точки $M$ по графику $f $ к точке $M_0 $ .

Для того, чтобы секущая $M_0 M$ при $\Delta x \to 0$ стремилась к предельному положению, отличному от вертикальной прямой , необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ , то есть , чтобы существовала конечная производная функции $y = f(x)$ в точке $x_0 $ .

Угловой коэффициент касательной получается путем перехода от $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ к пределу при $\Delta x \to 0$ :

$\begin{displaymath} tg\alpha = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} tg\varphi... ...hop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}. \end{displaymath}$

Таким образом, получим, что ${f}'(x_0 ) = tg\alpha$ , где $\alpha$ - угол наклона касательной к оси $OX$ (см. рис.), а значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции $f $ в точке $M_0 $ имеет вид

$\begin{displaymath} y = {f}'(x_0 )(x - x_0 ) + y_0 . \end{displaymath}$

В случае бесконечной производной ${f}'(x_0 ) = \infty$ .

Из уравнения секущей имеем:

$\begin{displaymath} \frac{y}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = x - x_0 + \frac{y_0 }{\frac{\Delta y}{\Delta x}}. \end{displaymath}$

Переходя в равенстве к пределу при $\Delta x \to 0$ , получаем уравнение касательной к графику функции в точке $x_0 $ в виде $x = x_0 $ , то есть касательная является в данном случае вертикальной прямой, проходящей через точку $x_0 $ оси абсцисс.

Механический смысл производной

Пусть материальная точка движется прямолинейно и $S = S(t)$ - длина пути, проходимого за время $t$ , отсчитываемого от некоторого момента времени $t_0 $ .

Для определения скорости $V$ в данный момент $t$ придадим переменной $t$ некоторое приращение $\Delta t$ , при этом приращение пути будет равно $\Delta S = S(t + \Delta t) - S(t)$ .

Отношение $\frac{\Delta S}{\Delta t}$ называется в физике величиной средней скорости движения за промежуток времени, начиная с момента времени $t$ , и обозначается

$\begin{displaymath} V_{ср} = \frac{\Delta S}{\Delta t}. \end{displaymath}$

Предел $\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} V_{ср} = V$ называется величиной мгновенной скорости движения в момент времени $t$ .

Таким образом, мгновенная скорость в момент времени $t$ прямолинейного движения, совершаемого по закону $S = S(t)$ равна значению производной ${S}'(t)$ .

Примеры задач

Задача 1. Составьте уравнение общей касательной к графикам функций $y = x^2$ и $y = x^3$ .

Решение.

I способ.

Прямая $y = kx + b$ является общей касательной графиков функций $y = f_1 (x)$ и $y = f_2 (x)$ , если она касается как одного, так и другого графиков, но совершенно не обязательно в одной и той же точке.

$\begin{displaymath} y = 2x_0 (x - x_0 ) + x_0^2 \quad - {у}{р}{а}{в}{н}{ е}{н}{и... ...2{в}{т}{о}{ч}{к}{е}{с}{а}{б}{ с}{ц}{и}{с}{с}{о}{й} \quad x_0 . \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} y = 3x_1^2 (x - x_1 ) + x_1^3 \quad - {у}{р}{а}{в}{ н}{е}{н}... ...3{в}{т}{о}{ч}{к}{е}{с}{а}{б}{ с}{ц}{и}{с}{с}{о}{й} \quad x_1 . \end{displaymath}$

Прямые совпадают, если их угловые коэффициенты и свободные члены равны. Отсюда

$\begin{displaymath} \left\{ {\begin{array}{l} 2x_0 = 3x_1^2 , \\ - x_0^2 = - 2x_1^3 . \\ \end{array}} \right. \end{displaymath}$

Решением системы будут

$\begin{displaymath} \left\{ {\begin{array}{l} x_0 = 0 \\ x_1 = 0 \\ \end{ar... ...\frac{32}{27} \\ x_1 = \frac{8}{9} \\ \end{array}} \right. \end{displaymath}$

Уравнения общих касательных имеют вид:

$\begin{displaymath} y = 0; \quad y = \frac{64}{27}x - \frac{1024}{729}. \end{displaymath}$

II способ.

Уравнение касательной к кривой $y = x^3$ в точке с абсциссой $x_1 $ имеет вид:

$\begin{displaymath} y = 3x_1^2 (x - x_1 ) + x_1^3 . \end{displaymath}$

Для касания прямой $y = kx + b$ параболы $y = x^2$ достаточно, чтобы дискриминант квадратного уравнения $x^2 - kx - b = 0$ был равен нулю.

$\begin{displaymath} D = k^2 + 4b. \end{displaymath}$

Заметим, что: $\begin{array}{l} k^2 + 4b = 0; \\ k = 3x_1^2 ;b = - 2x_1^3 . \\ \end{array}$

Получаем $9x_1^4 - 8x_1^3 = 0$

$\begin{displaymath} x_1^3 (9x_1 - 8) = 0. \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} x_1 = 0{и}{л}{и} \quad x_1 = \frac{8}{9}. \end{displaymath}$

Ответ: Уравнения общих касательных имеют вид: $y = 0$ и $y = \frac{64}{27}x - \frac{1024}{729}$ .

Геометрический и механический смысл производной.

Примеры задач