Путь x – аргумент функции f(x) и 
- малое число, отличное от нуля.
При переходе от значения аргумента 
к 
значения функции изменяются соответственно от 
до 
при условии монотонности функции на отрезке 
. Разность 
называют приращением функции f(x), соответствующем данному приращению аргумента. На рисунке приращение функции показано синей линией.
(читается «дельта икс») называют приращением аргумента функции. На рисунке красной линией показано изменение аргумента от значения x до значения 
(отсюда видна суть названия «приращение» аргумента).
Рассмотрим эти понятия на конкретном примере.
Возьмем, к примеру, функцию 
. Зафиксируем точку 
и приращение аргумента 
. В этом случае приращение функции при переходе от к 
будет равно
Отрицательное приращение 
говорит об убывании функции на отрезке 
Определение производной функции в точке.
Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b), и - точки этого промежутка. Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при 
. Обозначается 
.
Когда последний предел принимает конкретное конечное значение, то говорят о существовании конечной производной в точке. Если предел бесконечен, то говорят, что производная бесконечна в данной точке. Если же предел не существует, то ипроизводная функции в этой точке не существует.
Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке , когда она имеет в ней конечную производную.
Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a; b), то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Таким образом, любой точке x из промежутка (a; b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке 
, то есть, мы имеем возможность определить новую функцию , которую называют производной функции f(x) на интервале (a; b).
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
.
