28.Непрерывные функции. Непрерывность расстояния. Локальные свойства непрерывных функций. Арифметические свойства непрерывных функций

Опр: ф-ция $f:R^n\rightarrow R^m$ наз-ся непр $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\;\;\forall\varepsilon >0\exists \delta >0\;\; \rho (x,a)<\delta$ , то $\rho (f(x),f(a))<\varepsilon$

Теорема: Расстояние $\rho (x,y)$ как ф-ия 2-х переменных -- непрерывна

$\lim_{x\rightarrow a,y\rightarrow b}\rho (x,y)=\rho (a,b)$

Теорема:

1) Непр. в точке - локально огр-на;

2)Суперпозиия непр. ф-ции - непрерыв. ф-ция;

3) $f:R^n\rightarrow R a(a_1,...,a_n)\in R^n$ $f$ - непр в т. а и $f(a)>0$ . Тогда $\exists B(a,r)\;\;f(x)>\frac{a}{2}\;\;\forall x\in B(a,r)$ ;

4) $f,g:R^n\rightarrow R$ непр. в точке $a\un R^n.$ Тогда ф-ия $f(x)+g(x); \;\;f(x)\cdot g(x), \; \frac{f(x)}{g(x)}\;\;(g(a)\neq 0)$ непр. в точке а.