Rn. Расстояние. Неравенство Коши-Буняковского. Открытые и замкнутые множества в Rn.

Опр1: Rⁿ - множество упорядоченных n-ок действительных чисел.

Опр2: $\rho (x,y)=\sqrt{\sum (x_k-y_k)^2}=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}+...+(x_n-y_n)^2$ - расстояние между х и у. $R^n,\rho$ - Евклидово пр-во.

Теорема: $\rho (x,y)$ обладает св-вами:

Неравенство Коши-Буняковского $|a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n|\leq \sqrt{a_1^2+...+a_n^2}\cdot \sqrt{b_1^2+...+b_n^2}$

Опр: $B(a,r)=\left \{ x \in R^n:\rho (x,a<r) \right \}$ - наз-ся открытым шаром.

Опр: Мн-во $U\subset R^n$ будем называть открытым, если $\forall a\in U \exists r>0:B(a,r)\subset U$ , т.е. а - внутр.

Опр: Мн-во $F\subset R^n$ наз-ся замкнутым, если $R^n \setminus F$ - открытое.