20.Несобственный интеграл. Примеры. Основные свойства///

Пусть f(x) определена на $[a;+\propto )$ и интегрируема по Риману но любом отрезке [a;b]. Если $\exists \lim_{b\rightarrow +\propto }\int_a^bf(x)dx$ наз-ся несобственным интегралом f(x) на $[a;+\propto )$

$\int_a^{+\infty }f(x)dx=\lim_{b\rightarrow +\infty }\int_a^bf(x)dx$

Примеры: $\int_0^{+\infty }e^{-x}dx=1$ , $\int_a^{b }e^{-x}dx=-e^{-b}+1\underset{b\rightarrow +\infty }{\rightarrow}1$

Опр: Пусть f(x) определена на [a;b) и $f(b')\rightarrow \infty b'\rightarrow b-0$ , пусть f(x) интегр. на любом [a;b] (a<b<b'). Если $\exists \lim_{b'\rightarrow b-0}$ . $\int_a^bf(x) dx$ наз-ся несобственным интегралом второго рода.

Пример: $\int_0^1\frac{dx}{1-x}\;\;\int_0^{b'}\frac{dx}{1-x}=-ln(1-x)|^{b'}_0=-ln(1-b')+0\underset{b'\rightarrow 1-0}{\rightarrow}+\infty$ - расх-ся.

Основные св-ва:

Теорема: f(x) и g(x) интегр. на $[a;+\propto )$ , то $xf(x)+\mu g(x)$ интегр. на $[a;+\propto )$ . $\int_a^{+\infty }(xf(x)+\mu g(x))dx=\lambda \int _a^{+\infty}f(x)dx+\mu \int_a^{+\infty}g(x)dx$ - линейность.

Теорема: Пусть f(x) опр. на $[a;+\propto )$ , $a<c<+\infty.$ Тогда $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ и $\int_c^{+\infty}f(x)dx$ сх-ся одновременно. При этом $\int_a^{+\infty}f(x)dx=\int_a^{c}f(x)dx+\int_c^{+\infty}f(x)dx$ и интегр. по Риману на $\forall [a;b]$