10.Интегрирование простых дробей и рациональных выражений.

$\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx$ $P(x)$ , $Q(x)$ - многочлены.

1) Если степень P(x)> степ. Q(x) поделим с остатком и будем интегрировать правильную дробь. $\int \frac{P(x)}{Q(x)}=R(x)+\frac{S(x)}{Q(x)}$ степ. $S(x)$ < степ. $Q(x)$

2) $Q(x)=a_0(x-a_1)^{n_1}\cdot...\cdot (x-a_k)^{n_k}\cdot (x^2+p_1x+q_1)^{m_1}\cdot...\cdot (x^2+p_l+q_l)^{m_l}$

Правильная дробь $\frac{P(x)}{Q(x)}$ может быть преведена в вид: $\frac{A_1}{x-a_1}+\frac{A_2}{(x-a_1)^2}+...+\frac{A_n}{(x-a_1)^{n_{1}}}+...+\frac{M_1x+N_1}{x^2+p_1x+q_1x}+\frac{M_2x+N_2}{(x^2+p_2x+q_2)^2}+\frac{M_lx+N_l}{(x^2+p_lx+q_l)^{m_{{l}}}}$

(1) $\frac{A}{x-a}$ ; (2) $\frac{A}{(x-a)^n}$ ; (3) $\frac{M_x+N}{x^n+p_x+q}$ ; (4) $\frac{M_x+N}{(x^n+p_x+q)^n}$

(1) $\int\frac{A}{x-a}dx=Aln|x-a|+C$ ,

(2) $\int\frac{A}{(x-a)^n}dx=A\int \frac{1}{(x-a)^n}d(x-a)=A\int(x-a)^{-n}\cdot d(x-a)=A \cdot \frac{(x-a)^{-n+1}}{-n+1}+C$

(3) и (4) сводятся к $\int \frac{dt}{t^2+a^2}=I_1$ и $\int \frac{dt}{(t^2+a^2)^n}=I_n$ с помощью выделения полного квадрата и вынесения констант и производим замену $\int \frac{M_x+N}{x^2+p_x+q}dx=...=\int\frac{A_t+B}{c(t^2+1)}dt$ выд. полный квадрат.

Почленно разделив получим: $F \cdot \int \frac{t\;dt }{t^2+1}$ и $G \cdot \int \frac{dt }{t^2+1}$

$F \cdot \int \frac{t\;dt }{t^2+1}=F \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{d(t^2+1)}{t^2+1} = F \cdot \frac{1}{2} \cdot ln |t^2+1|+C$

$G \cdot \int \frac{dt}{t^2+1}=G\cdot arctgt+C$

$\int \frac{M_x}{(x^2+p_x+q)^n}dx=...=\int\frac{kt+L}{B(t^2+1)^n}dt$ выд. полный квадрат

Почленно разделив: $Z\cdot \int \frac{t\:dt}{(t^2+1)^n}$ и $H\cdot \int \frac{dt}{(t^2+1)^n}$

$Z\cdot \int \frac{t\:dt}{(t^2+1)^n}=Z\cdot \frac{1}{2}\int\frac{d(t^+1)}{(t^+1)^n}=Z\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{(t^+1)^{-n+1}}{-n+1}$

$H\cdot \int \frac{dt}{(t^2+1)^n}=H\cdot \int\frac{t^+1-t^2}{(t^+1)^n}dt=H\cdot \int \frac{dt}{t^2-1}-H\cdot\int\frac{dt}{(t^2-1)^n}\cdot tdt$ повторяем пока степень не станет =1. (через интегрирование по частям приводим к табличному виду)