7.Неравенство Абеля. Признаки Абеля, Дирихле, Лейбница.

Нер-во Абеля: Даны а₁,...,а_n и b₁,...,b_n. При этом {a_i} - монотонно и $b_1+b_2+...+b_k\leq B$ , $k=1,...,n$ . тогда выролняется $|a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n|\leq B(|a_1|+2|a_n|)$

Признак Лейбнца: Если послед. $a_n\downarrow$ и $\rightarrow 0$ , то ряд $\sum(-1)^{n+1}\cdot a_n$ - сх-ся. Знакочередующийся ряд.

Признак Абеля: Дан ряд вида $\sum a_n\cdot b_n$ ; 1) $a_n$ - монот. огранич. 2) $\sum b_n$ - сх-ся. Тогда ряд $\sum a_n\cdot b_n$ сх-ся.

Док-во: 1) $\varepsilon >0$ , 2) $\exists N \forall n\geq N\forall p\geq 1$ вып. $|\sum_{k=n+p}^{n+p}b_k|<\frac{\varepsilon }{3c}$ . Тогда $|\sum_{k=n+p}^{n+p}a_k b_k|\leq \frac{\varepsilon }{3c}(c+2c)=\varepsilon$ #

Признак Дирихле: Дан ряд $\sum a_n b_n$ ; 1) $a_n$ - монотон. и $\rightarrow 0$ ; 2) $\exists c>0:|\sum_{k=1}^{n}b_k|\leq c \forall n$ , тогда $\sum a_n b_n$ - сх-ся.