2.Неотрицательные ряды. Признак Вейерштрасса. Признак сравнения. Признак сравнения в предельной форме

Неотр. ряды Частичные суммы возрастают. $\sum_{n=1}^{\propto }a_n\; \; \; \; a_n\geq 0$ , $S_{n+1}=S_n+a_n\geq S_n$ , $S_n\uparrow$ , монотонно $\uparrow$ посл. имеет предел <=> она ограничена.

Критерий сх-ти не отр. рядов. Ряд $\sum_{n=1}^{\propto }a_n\geq 0$ сх-ся, <=> огр. его послед. частичных сумм

Теорема (признак сравнения) Пусть даны ряды $\sum_{n=1}^{\propto }a_n$ , $\sum_{n=1}^{\propto }b_n$ и $0\leq a_n \leq b_n$ , тогда если ряд $\sum_{n=1}^{\propto }b_n$ сх-ся, то сх-ся и ряд $\sum_{n=1}^{\propto }a_n$

Если $\sum_{n=1}^{\propto }a_n$ расх-ся, то и ряд $\sum_{n=1}^{\propto }b_n$ тоже расх-ся.

Док-во: $A_m=\sum_{n=1}^{\propto }a_n$ , $B_m=\sum_{n=1}^{\propto }b_n$ ; $0\leq A_m \leq B_m$

Теорема 2 (Признак сравнения в предельной форме) $\sum_{n=1}^{\propto }a_n$ , $\sum_{n=1}^{\propto }b_n$ , $a_n>0$ , $b_n>0$ . Если $\exists \lim_{n \to \propto }\frac{a_n}{b_n}=\lambda >0$ , то ряды сх-ся одновременно.