1.Числовые ряды. Примеры. Критерий Коши. Независимость сходимости рядов от конечного числа слагаемых. Необходимый признак сходимости ряда. А

Числовой ряд $\sum_{k=1}^{\propto }a_k$ наз-ся сходящимся, если сх-ся его посл. частичных сумм $:\exists \lim_{n\rightarrow \propto }S_n=S$ , $S$ - сумма ряда.

Примеры: 1) $\sum_{k=1}^{\propto }\frac{1}{2^k}= 1$ - сходится, 2) $\dpi{100} \sum_{k=1}^{\propto }\frac{1}{k(k+1)}= 1$

Теорема 1 (Критерий Коши) $\sum_{k=1}^{\propto }a_k$ сх-ся <=> $\forall \varepsilon >0 \exists N\forall m \geq n>N$ $|\sum_{k=n}^{n+m }|<\varepsilon$

Следствие 1)Сходимость ряда не зависит от поведения конечного числа слагаемых; 2) Если ряды отличаются конечным числом слагаемых, то они сходятся одновременно.

Теорема 2 (Необходимый признак сходимости ряда) Есля ряд сх-ся, то общий член ряда стремится к 0, при этом обратное не верно.

Арифметические свойства рядов

1)Есля ряды $\sum_{n=1}^{\propto } a_n$ и $\sum_{n=1}^{\propto } b_n$ сх-ся, то $\sum_{n=1}^{\propto } (a_n+b_n)$ тоже сх-ся, при этом $\sum_{n=1}^{\propto } (a_n+b_n)=\sum_{n=1}^{\propto } a_n+\sum_{n=1}^{\propto } b_n$

2)Если $\sum_{n=1}^{\propto } a_n$ сх-ся $\forall \lambda \in R$ ряд $\sum_{n=1}^{\propto }\lambda a_n$ сх-ся и $\sum_{n=1}^{\propto }\lambda a_n=\lambda \sum_{n=1}^{\propto } a_n$