38. Неотрицательные числоые ряды. Признаки сравнения Даламбера и Коши

Признак Даламбера сходимости ряда в форме неравенств

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...$

$a_{n}>0$

Если начиная с какого-то номера $n_{0}\epsilon \mathbb{N}$ $\forall n>n_{0}$ выполняется неравенство $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q<1$ $q\epsilon \mathbb{R}$ , то ряд сходится.
Если же $\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}$ $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1$ , то ряд расходится.

Док-во: Рассмотрим неравенство $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q$ для $n=1$ и $n=2$ .

$n=1:\frac{a_{2}}{a_{1}}\leq q\Leftrightarrow a_{2}\leq q*a_{1}$

$n=2:\frac{a_{3}}{a_{2}}\leq q\Leftrightarrow a_{3}\leq q*a_{2}\leq q^{2}*a_{1}$

Таким образом $\forall n$ будет справедливо неравенство $a_{n}\leq q^{n-1}*a_{1}$ . При этом ряд $\sum_{n=1}^{\infty} q^{n-1}*a_{1}$ является сходящимся, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ тоже сходится.

Если $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1$ , то справедливо неравенство $a_{n+1}\geq a_{n}>0$ , что противоречит необходимому условию сходимости ряда ( $\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ ). Значит ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Признак Коши сходимости ряда в форме неравенств

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...$

$a_{n}\geq 0$

Если начиная с какого-то номера $n_{0}\epsilon \mathbb{N}$ $\forall n>n_{0}$ выполняется неравенство $\sqrt[n]{a_{n}}\leq q<1$ $q\epsilon \mathbb{R}$ , то ряд сходится.
Если же $\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}$ $\sqrt[n]{a_{n}}\geq 1$ , то ряд расходится.

док-во: Пусть $\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}\sqrt[n]{a_{n}}\leq q\Leftrightarrow a_{n}\leq q^{n}$ . Так как $0<q<1$ , то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}$ будет сходиться, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ так же является сходящимся.

Если $\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}\sqrt[n]{a_{n}}\geq 1\Leftrightarrow a_{n}\geq 1$ , что противоречит необходимому условию сходимости ряда ( $\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ ). Значит ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ расходится.

17.01.2016; 17:19

хиты: 185

рейтинг:0

38. Неотрицательные числоые ряды. Признаки сравнения Даламбера и Коши

Признак Даламбера сходимости ряда в форме неравенств

Док-во: Рассмотрим неравенство для и .

Признак Коши сходимости ряда в форме неравенств

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

Док-во: Рассмотрим неравенство $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q$ для $n=1$ и $n=2$ .