37.Числовые ряды. Определение. Основные свойства. Необходимый признак сходимости. Примеры

Пусть мы имеем числовую последовательность формула , где .

Приведем пример числовой последовательности: формула .

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида $\sum_{k=1}^{\infty }a_k=a_1+a_2+...+a_n+...$ .

Если сходится числовой ряд $\sum_{k=1}^{\infty }a_k$ , то сходящимся будет и ряд $\sum_{k=m+1}^{\infty }a_k$ . Другими словами, сходящимся будет и ряд без первых m членов. Если к сходящемуся числовому ряду $\sum_{k=m+1}^{\infty }a_k$ добавить несколько членов (от первого до m-ого), то полученный ряд также будет сходящимся.
Если сходится числовой ряд $\sum_{k=m}^{\infty }a_k$ и его сумма равна S, то сходящимся будет и ряд $\sum_{k=m}^{\infty }A\cdot a_k$ , причем $\sum_{k=m}^{\infty }A\cdot a_k =A\cdot S$ , где A – произвольная постоянная.
Если сходятся числовые ряды $\sum_{k=1}^{\infty }a_k$ и $\sum_{k=1}^{\infty }b_k$ , их суммы равны A и Bсоответственно, то сходящимися будут ряды $\sum_{k=1}^{\infty }(a_k+b_k)$ и $\sum_{k=1}^{\infty }(a_k-b_k)$ , причем их суммы будут равны A + B и A - B соответственно.