32. Формула Тейлора с остаточным членом в фоме Пеано. Единственность разложения.

Если существует $f^{(n)}(x_{0})$ , то $f(x)$ представима в следующем виде:

$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{k}}{k!}(x-x_{0})^{k}+o((x-x_{0})^{n})_{x\to x_{0}}$

Доказательство:

Для начала докажем Лемму

Пусть функции $\varphi(x),\psi(x)$ определены в $\delta$ окрестности точки $x_{0}$ и удовлетворяют следующим условиям:

$\forall x \in U_{\delta} \exists \varphi^{(n+1)}(x),\psi^{(n+1)}(x);$
$\varphi(x_{0})=\varphi'(x_{0})=...=\varphi^{(n)}(x_{0})=0$ , $\psi(x_{0})=\psi'(x_{0})=...=\psi^{(n)}(x_{0})=0$
$\psi(x)\neq0,\psi^{k}(x)\neq 0 \forall x\in U_{\delta}(x_{0}),k=\overline{1,n+1}$

Тогда $\forall x\in U_{\delta}(x_{0})$ существует точка $\xi$ , принадлежащая интервалу с концами $x_{0}$ и $x$ такая, что $\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)}$

Доказательство

Пусть, например, $x \in (x_{0},x_{0}+\delta)$ . Тогда применяя к функциям $\varphi$ и $\psi$ на отрезке $[x_{0},x]$ теорему Коши и учитывая, что $\varphi(x)=\psi(x)=0$ по условию, получаем

$\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}{\psi(x)-\psi(x_{0})}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}$ , $x_{0}<\xi_{1}<x$

Аналогично, применяя к функциям $\varphi'$ и $\psi'$ на отрезке $[x_{0},\xi_{1}]$ теорему Коши, находим

$\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=\frac{\varphi'(\xi_{1})-\varphi'(x_{0})}{\psi'(\xi_{1})-\psi'(x_{0})}=\frac{\varphi''(\xi_{2})}{\psi''(\xi_{2})}$ , $x_{0}<\xi_{2}<\xi_{1}$

Из этих двух равенств следует, что

$\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=\frac{\varphi''(\xi_{2})}{\psi''(\xi_{2})}$ , $x_{0}<\xi_{2}<\xi_{1}<x<x_{0}+\delta$

Применяя теорему Коши последовательно к функциям $\varphi''$ и $\psi''$ , $\varphi^{(3)}$ и $\psi^{(3)}$ ,…, $\varphi^{(n)}$ и $\psi^{(n)}$ на соответствующих отрезках получаем

$\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=...=\frac{\varphi^{n}(\xi_{n})}{\psi^{n}(\xi_{n})}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)}$

где $x_{0}<\xi<\xi_{n}<...<\xi_{2}<\xi_{1}<x<x_{0}+\delta$

Равенство доказано для случая, когда $x \in(x_{0},x_0+\delta)$ , аналогично рассматривается случай, когда $x \in(x_0-\delta,x_{0})$ .

Теперь, когда лемма доказана, приступим к доказательству самой теоремы:

Из существования $f^{(n)}(x_{0})$ следует, что функция $f(x_{0})$ определена и имеет производные до $(n-1)$ порядка включительно в $\delta$ окрестности точки $x_{0}$

Обозначим $\varphi(x)=r_{n}(x),\psi(x)=(x-x_{0})^{n}$ , где $r_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)$ .

Функции $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ удовлетворяют условиям леммы, если заменить номер $n+1$ на $n-1$

Используя ранее доказанную лемму и учитывая, что $r_{n}^{(n-1)}(x_{0})=0$ получаем

$\frac{r_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}}=\frac{r_{n}^{n-1}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0})}{n!(\xi-x_{0})}$ , $\xi=\xi(x)(*)$

где $x_{0}<\xi<x<x_{0}<x_{0}+\delta$ или $x_{0}-\delta<x<\xi<x_{0}$ .

Пусть $x\to x_{0}$ , тогда из неравенств следует, что $\xi \to x_{0}$ , и в силу существования $f^{(n)}(x_{0})$ существует

$\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}(x)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0)}}{x-x_0}=$

$=\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0)}}{\xi-x_{0}}=r_{n}^{(n)}(x_{0})=0$

Так как выполняются равенства $r_{n}(x_{0})=r_{n}'(x_{0})=...=r_{n}^{(n)}(x_{0})=0$

Таким образом, правая часть формулы $(*)$ имеет при $x\to x_{0}$ предел, равный нулю, а поэтому существует предел левой части этой формулы, так же равный нулю. Это означает, что $r_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}),x\to x_{0}$ , то есть $f(x)-P_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n})$ , что и требовалось доказать.

Если существует $f^{(n)}(x_{0})$ и при $x\rightarrow x_{0}$ $f$ представима в виде $f(x)=a_{0}+$ $a_{1}(x-x_{0})+...$ $+a_{n}(x-x_{0})^{n}+$ $O((x-x_{0})^{n})$ , то многочлен $A=a_{0}+$ $a_{1}(x-x_{0})+...$ $+a_{n}(x-x_{0})^{n}$ и будет многочленом Тейлора в точке $x_{0}$ , то есть $a_{k}=\cfrac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}$ .

Доказательство.

$f(x)=f(x_{0})+$ $\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+...$ $+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+$ $O((x-x_{0})^{n}) .$

Приравниваем:

$f(x_{0})+$ $\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+...$ $+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+$ $O((x-x_{0})^{n})=$ $a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+...$ $+a_{n}(x-x_{0})^{n}+$ $O((x-x_{0})^{n})$ .

Берем предел обеих частей при $x\rightarrow x_{0}$ . Получаем, что:

$\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})\rightarrow 0 ;$

$\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}\rightarrow 0 ;$

$O((x-x_{0})^{n})\rightarrow 0 ;$

$a_{1}(x-x_{0})\rightarrow 0 ;$

$a_{n}(x-x_{0})^{n}\rightarrow 0 ;$

$O((x-x_{0})^{n})\rightarrow 0 ;$

$f(x_{0})=a_{0} .$

Отбрасываем первые слагаемые в обеих частях уравнения:

$\cfrac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+...$ $+\cfrac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+$ $O((x-x_{0})^{n})=$ $a_{1}(x-x_{0})+...$ $+a_{n}(x-x_{0})^{n}+$ $O((x-x_{0})^{n})\mid /(x-x_{0}) .$

$\cfrac{f'(x_{0})}{1!}+...$ $+\cfrac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n-1}+$ $O((x-x_{0})^{n-1})=$ $a_{1}+$ $a_{2}(x-x_{0})+...$ $+a_{n}(x-x_{0})^{n-1}+$ $O((x-x_{0})^{n-1})\mid \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}(\cdot ) .$

Получаем:

$\cfrac{f'(x_{0})}{1!}=a_{1}$ .

Проделываем те же действия, что и ранее, получаем:

$a_{k}=\cfrac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}$ .

Следовательно разложение по формуле Тейлора однозначно.