пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

2 семестр:
» Матан
» ангем
I семестр:
» Алгебра
» Матан

29. Теорема Лагранжа, теорема Коши

т. Коши: Если функции f\left( x \right) и g\left(x\right) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы на интервале (a,b), причем g'(x)\neq 0 во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка (хи) \xi \in (a,b) такая, что \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}. 

Док-во: Рассмотрим функцию \varphi(x)=f(x)+\lambda g(x), где число \lambda выберем таким, чтобы выполнялось равенство \varphi (a)=\varphi (b), которое равносильно следующему:

f(b)-f(a)+\lambda (g(b)-g(a))=0.

Заметим, что g(b)\neq g(a), так как в противном случае согласно Теореме Ролля существовала бы точка c\in (a,b) такая, что g'(c)=0 вопреки условиям данной теоремы. Из равенства f(b)-f(a)+\lambda (g(b)-g(a))=0 следует, что \lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.

Так как функция \varphi при любом \lambda непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), а при значении \lambda, определяемом предыдущей формулой, принимает равные значения в точках a и b, то по теореме Ролля существует точка \xi \in (a,b) такая, что \varphi '(\xi )=0, т.е. f'(\xi )+\lambda g'(\xi )=0, откуда \frac{f'(\xi )}{g'(\xi )}=-\lambda. Из этого равенства и формулы \lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} следует \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.


т. Лагранжа: Если функия f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} непрерывна на отрезке [a,b] и дифференируема в интервале ]a,b[, то найдется точка \xi \in ]a,b[, такая, что f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)

Док-во: Для док-ва рассм. вспомогательную функию F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}, которая непрерывна на [a,b], дифференируема на интервале ]a,b[ и на его концах принимает разные значения F(a)=F(b)=f(a). Применяя к F(x) теорему Ролля, найдем \xi \in ]a,b[, в которой F'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0


17.01.2016; 16:16
хиты: 144
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь