т. Коши: Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале (a,b), причем во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка (хи) такая, что .
Док-во: Рассмотрим функцию , где число выберем таким, чтобы выполнялось равенство , которое равносильно следующему:
.
Заметим, что , так как в противном случае согласно Теореме Ролля существовала бы точка такая, что вопреки условиям данной теоремы. Из равенства следует, что .
Так как функция при любом непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , а при значении , определяемом предыдущей формулой, принимает равные значения в точках и , то по теореме Ролля существует точка такая, что , т.е. , откуда . Из этого равенства и формулы следует .
т. Лагранжа: Если функия непрерывна на отрезке и дифференируема в интервале , то найдется точка , такая, что
Док-во: Для док-ва рассм. вспомогательную функию , которая непрерывна на , дифференируема на интервале и на его концах принимает разные значения . Применяя к теорему Ролля, найдем , в которой