пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

2 семестр:
» Матан
» ангем
I семестр:
» Алгебра
» Матан

28. Теорема Ферма, теорема Ролля

т. Ферма: Если функция имеет локальный экстремум в точке x_{0} и дифференцируема в этой точке, тоf'(x_{0})=0


Док-во: Пусть, например, функция имеет локальный минимум в точке x_{0}. Тогда, по определению локального минимума для всех x\in(x_{0}-\delta , x_{0}+\delta ) выполняется неравенство f(x)-f(x_{0})\geq 0.
Если x\in(x_{0}-\delta ,x_{0}) , то x-x_{0}< 0, тогда из условия f(x)-f(x_{0})\geq 0 следует, что
\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0,
а если x\in (x_{0},x_{0}+\delta ), то выполняется неравенство
\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geq 0.
Так как функция f предел при x\rightarrow x_{0} в левой части неравенства \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0, равный f_{-}^{'}(x_{0})=f'(x_{0}). По свойствам пределов из \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0 следует, что
f'(x_{0})\leq 0.
Аналогично, переходя к пределу в неравенстве \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geq 0 получаем
f'(x_{0})\geq 0.
Из неравенств f'(x_{0})\leq 0 и f'(x_{0})\geq 0 следует, что f'(x_{0})=0.


т. Ролля: Если f(x)\in C[a,b] (т.е. она непрерывна на этом промежутке), дифференцируема на (a,b) и f(a)=f(b) тогда \exists \xi \in (a,b): f'(\xi )=0. Теорему Ролля можно сформулировать кратко так: между двумя точками, в которых дифференцируемая функция принимает равные значения, найдется хотя бы один ноль производной этой функции. Для случая f(a)=f(b)=0 теорема формируется еще короче: между двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один ноль ее производной.


Док-во: Обозначим M=sup f(x), m=inf f(x) для a\leq x\leq b. По теореме Вейерштрасса на отрезке [a,b] существуют такие точки c_{1} и c_{2}, что f(c_{1})=m, f(c_{2})=M. Если M=m, то f(x)=const, и в качестве \xi можно взять любую точку интервала (a,b).
Если m\neq M, то m<M, и поэтому c_{1}  0 такое, что U_{\delta}(c_{1})\subset (a,b). Так как для всех x\in U_{\delta }(c_{1}) выполняется условие f(x)\geq f(c_{1})=m, то по теореме Ферма f'(c_{1})=0, т.е. условие f'(\xi )=0 выполняется при \xi=c_{1}. Аналогично рассматривается случай когда c_{2}\in (a,b).


17.01.2016; 15:52
хиты: 137
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь