т. Ферма: Если функция имеет локальный экстремум в точке и дифференцируема в этой точке, то
Док-во: Пусть, например, функция имеет локальный минимум в точке Тогда, по определению локального минимума для всех выполняется неравенство
Если то тогда из условия следует, что
а если то выполняется неравенство
Так как функция f предел при в левой части неравенства , равный По свойствам пределов из следует, что
Аналогично, переходя к пределу в неравенстве получаем
Из неравенств и следует, что
т. Ролля: Если (т.е. она непрерывна на этом промежутке), дифференцируема на (a,b) и тогда Теорему Ролля можно сформулировать кратко так: между двумя точками, в которых дифференцируемая функция принимает равные значения, найдется хотя бы один ноль производной этой функции. Для случая теорема формируется еще короче: между двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один ноль ее производной.
Док-во: Обозначим для По теореме Вейерштрасса на отрезке существуют такие точки и что Если то и в качестве можно взять любую точку интервала
Если то и поэтому такое, что Так как для всех выполняется условие то по теореме Ферма т.е. условие выполняется при Аналогично рассматривается случай когда