22. Теорема Вейртрасса о непрерывной на отрезке функции

Если функция f непрерывна на отрезке [a,b] , то f ограниченна на отрезке [a,b].
Если $f \ \epsilon \ C[a,b] \Rightarrow f$ ограниченна на [a,b], то есть $\exists\ c>0 \ \forall x \ \epsilon \ [a,b]\leq c$

От противного
Пусть f неограниченна на отрезке [a,b], тогда :

$\exists c>0 \ \exists x_c \epsilon [a,b] : |f(x_c)|>c$
$c=1\ \exists x_1 \epsilon [a,b] : |f(x_1)|>1$
$c=2\ \exists x_2 \epsilon [a,b] : |f(x_2)|>2$

...

$c=n\ \exists x_n \epsilon [a,b] : |f(x_n)|>n$
.....

Получим последовательность $\{x_n\} \subset [a,b]$ , то есть последовательность $\{x_n\}$ ограниченная
Отсюда по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить подпоследовательность, которая сходится к точке $\xi$ , то есть

$lim_{k\to\infty}{x_{nk}}=\xi$

$\xi \epsilon [a,b]$ по свойству пределов в форме неравенств

Но по условию функция f непрерывна в точке $\xi$ и тогда по определению непрерывности точки по Гейне:
$lim_{k\to\infty}{f(x_{nk})}=f(\xi)$
С другой стороны
$|f(x_{nk})| > n_k , n_k \geq k \Rightarrow lim_{k\to\infty}{f(x_{nk})}=\infty$
А это противоречит единственности предела(Числовая последовательность может иметь только один предел.)