16. Оперделение предела функции по Гейне и по Коши, их эквивалентность

определение по Коши или на языке $\varepsilon -\delta$ :

$A$ – предел функции $f(x)$ в точке $a$ (и пишут limx→af(x)=Alimx→af(x)=A), если:

$x\neq a$

В определении допускается, что $x\neq a$ , то есть $a$ может не принадлежать области определения функции.

определение по Гейне:

$A$ называется пределом функции $f(x)$ в точке $a$ , если $\forall \left \{ x_n \right \}\rightarrow a$ , $x_n\neq a$ то есть $\lim_{n \to \infty }x_n=a$ , соответствующая последовательность значений $f(x_n)\rightarrow A$ , то есть $\lim_{n \to \infty }f(x_n)=A$ .

Замечание 1.1.

Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке два разные предела.

Замечание 1.2.

Понятие предела функции в точке есть локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.

Замечание 1.3.

$\forall x :0<|x-a|<\delta$

Данную запись в определении можно сформулировать иначе: точка $x$ принадлежит проколотой $\delta$ -окрестности точки $a(x\in U_\delta (a))$

Эквивалентность определений

Пусть число $A$ является пределом функции $f(x)$ в точке $a$ по Коши. Выберем произвольную подходящую последовательность $x_n$ , $n\in N$ , то есть такую, для которой $\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a$ . Покажем, что $A$ является пределом по Гейне.

Зададим произвольное $\varepsilon >0$ и укажем для него такое $\delta >0$ , что для всех $x$ из условия $0 < |x-a| < \delta$ следует неравенство $|f(x)-A | < \varepsilon$ . В силу того, что $\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a$ , для $\delta > 0$ найдётся такой номер $n_{\delta }\in N$ , что $\forall n\geq n_{\delta }$ будет выполняться неравенство $|f(x_{n})-A| < \varepsilon$ , то есть $\lim\limits_{n\rightarrow \infty } f(x_{n}) = A$ .

Докажем теперь обратное утверждение: предположим, что $\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = A$ по Гейне, и покажем, что число $A$ является пределом функции $f(x)$ в точке $a$ по Коши. Предположим, что это неверно, то есть: $\exists \varepsilon_{0} > 0 \forall \delta > 0 :\exists x_{\delta }:0<|x_{\delta }-a|<\delta \Rightarrow |f(x_{\delta })-A|\geq \varepsilon$ . В качестве $\delta$ рассмотрим $\delta = \frac{1}{n}$ , а соответствующие значения $x_{\delta }$ будем обозначать $x_{n}$ . Тогда при любом $n\in N$ выполняются условия $|x_{n}-a|<\frac{1}{n}$ и $|f(x_{n})- A | \geq \varepsilon$ . Отсюда следует, что последовательность $x_{n}$ является подходящей, но число $A$ не является пределом функции $f(x)$ в точке $a$ . Получили противоречие.