11.Предельные точки последовательности, Принцип Больцано-Вейрштрасса

Точку $x \in \mathbb{R}$ числовой прямой называют предельной точкой последовательности $\left \{ x_n \right \}$ , если для любой окрестности $U(x)$ и любого натурального числа $N$ можно найти принадлежащий этой окрестности элемент $x_n$ с номером, большим $N$ , т.е. $x \in \mathbb{R}$ - предельная точка, если $\forall U(x)\; \forall N\in \mathbb{N}: \: x_n \in U(x)$

Иначе говоря, точка $x$ будет предельной для $\left \{ x_n \right \}$ , если в любую ее окрестность попадают элементы этой последовательности с произвольно большими номерами, хотя, возможно, и не все элементы с номерами $n>N$ . Поэтому достатолчно утверждение: если $\lim_{ }\left \{ x_n \right \}=b \in \mathbb{R}$ , то $b$ - единственная предельная точка последовательности $\left \{ x_n \right \}$ .

`принцип Больцано-Вейерштрасса`

`Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюсяподпоследовательноcть.`

любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.

Доказательство:

Предположим, что $\left \{ x_n \right \}$ – ограниченна, тогда все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку $[a;b]$ .
Разделим $[a;b]$ пополам. Мы получим два отрезка. Хотя бы один из них содержит бесконечное число членов последовательности. Выберем этот отрезок. Если оба обладают этим свойством, то выберем первый. Выбранный отрезок, который содержит бесконечное число членов данной последовательности, обозначим $\bigtriangleup _1[a_1;b_1]$ и его длина равна $b_1-a_1=\frac{b-a}{2}$ . Разделим отрезок $\Delta _1$ пополам, выберем из двух получившихся отрезков $\Delta _2=[a_2;b_2]$ длина которого $b_2-a_2=\frac{b-a}{2^2}$
Продолжая эти рассуждения, мы получим последовательность отрезков $\{\Delta _n=[a_n;b_n]\}$ таких, что:

$\Delta_1\supset\Delta_2\supset... \Delta_n\supset\Delta_{n+1}\supset...$
$\lim_{k\to\infty}\frac{b-a}{2^k}=0$

Следовательно, по определению, наша последовательность $\{\Delta_n\}$ стягивающаяся Тогда, по теореме Кантора, существует единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам, то есть:
$\exists c:\forall k\in\mathbb{N}\ \ c\in\Delta_k$ (1)
Покажем, что $\exists \{x_{n_{k}}\}\rightarrow c$
Так как отрезок $\Delta_1$ содержит бесконечное число членов последовательности $\{x_n\}$ , то $\exists n_1\in\mathbb{N}:x_{n_{1}}\in\Delta_1$ .
Отрезок $\Delta_2$ также содержит бесконечное число членов данной последовательности, и поэтому:
$\exists n_2>n_1:x_{n_{2}}\in\Delta_2$
Вообще, $\forall k\in\mathbb{N}\ \exists n_k: x_{n_{k}}\in\Delta_k$ , где $n_1<n_2<...<n_{k-1}<n_k$
Следовательно, существует подпоследовательность $\{x_{n_{k}}\}$ последовательности $\{x_n\}$
такая, что $\forall k\in\mathbb{N}\ a_k\leq x_{n_{k}}\leq b_k$ (2)
Условия (1) и (2) означают, что точка С и $\{x_{n_{k}}\}$ принадлежат отрезку $\Delta_k=[a_k;b_k]$ , и поэтому расстояние между ними не превосходит длины отрезка $\Delta_k$ то есть:
$\underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{0}}}\leq \Bigl|C-x_{n_k}\Bigl|\leq b_k-a_k=\underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{\frac{b-a}{2^k}}}}$ при $k\to\infty$ По теореме о трех последовательностях
$\lim_{k\to\infty}|C-{x_{n_{k}}}|=0 \Rightarrow \lim_{k\to\infty}{x_{n_{k}}}=c$
Теорема доказана $\blacksquare$